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导读

mlpack 中大量机器学习算法（KNN、RangeSearch、EMST、KMeans 等）都依赖某种距离度量，而这类度量往往可以被替换为任意合法的距离函数。本文以 doc/developer/distances.md 为核心，系统讲解 mlpack 的DistanceType模板策略：如何用最小的接口（一个Evaluate()方法与一个默认构造函数）接入任意距离度量，如何将自定义距离直接用于RangeSearch等算法，并逐一深入 mlpack 内置的LMetric、MahalanobisDistance、IPMetric与IoUDistance的实现原理与用法。读完本文，你将能独立编写、测试并部署自定义距离度量到 mlpack 的各类基于距离的算法中。

一、为什么需要 DistanceType 策略

许多机器学习方法都依赖某个距离度量，而这个度量可以是任意的。以最近邻搜索为例：我们可以用标准的欧氏距离（Euclidean distance）寻找某点的最近邻，也可以用曼哈顿距离（Manhattan / city-block distance）；但真正的搜索技术本身并不改变。类似地，KMeans 聚类、EMST 最小生成树、范围搜索（RangeSearch）等算法也是如此——具体使用哪种合法的距离度量，不应该改变算法的核心逻辑。

mlpack 的解决方案是把"距离度量"抽象成一个模板参数DistanceType：算法只要求该类型暴露固定的接口，其余全部交给模板在编译期展开。这样，同一个RangeSearch或NeighborSearch代码既可以跑欧氏距离，也可以跑切比雪夫距离、马氏距离乃至用户自实现的任意度量。

从源码结构看，mlpack 的树构建代码（如 BinarySpaceTree）也通过该策略使用距离度量，见 src/mlpack/core/distances/distances.hpp 中文件头注释：这些度量"对 mlpack 的树构建代码及其他应用非常有用"。

二、DistanceType 策略的契约：只有两个要求

任何作为DistanceType模板参数传入的距离度量，都必须满足：

1. 一个Evaluate()函数；
2. 一个默认构造函数（default constructor）。

仅此而已。这是整个策略的全部接口约束，非常简洁，与 mlpack 的 KernelType 策略 同构。

Evaluate() 的签名

Evaluate()的签名如下：

template<typename VecTypeA, typename VecTypeB> double Evaluate(const VecTypeA& a, const VecTypeB& b);

它接收两个向量参数a和b，返回一个double，即这两个向量之间的距离度量值。对于某个距离度量d来说，Evaluate()应当返回d(a, b)。

参数类型的约定

参数a、b的类型VecTypeA、VecTypeB是Armadillo 风格的向量类型，通常是arma::vec、arma::sp_vec或类似的类型。一般来说，可以安全地假设VecTypeA拥有与arma::vec相同的 API。

无状态度量的 static 优化

对于不持有任何状态的距离度量（即Evaluate()的结果只依赖输入参数），可以将Evaluate()标记为static，这样无需实例化对象即可调用。mlpack 内置的LMetric家族正是这样做的，见 lmetric.hpp 中Evaluate()的静态声明。

三、编写第一个自定义距离度量

下面是一个完整的最小示例：实现 L2（欧氏）距离的ExampleDistance类。它满足DistanceType策略的全部要求：

class ExampleDistance { public: // Default constructor is required. ExampleDistance() { } // The example metric holds no state, so we can mark Evaluate() as static. template<typename VecTypeA, typename VecTypeB> static double Evaluate(const VecTypeA& a, const VecTypeB& b) { // Return the L2 norm of the difference between the points, which is the // same as the L2 distance. return arma::norm(a - b); } };

要点解读：

• 默认构造函数：ExampleDistance() { }是空实现，但必须存在，因为算法在内部需要默认构造一个距离对象（例如RangeSearch构造函数的默认参数const DistanceType distance = DistanceType()，见 range_search.hpp）。
• 无状态：该类没有成员变量，因此Evaluate()声明为static，可以直接以ExampleDistance::Evaluate(a, b)方式调用。
• 模板化的向量类型：VecTypeA/VecTypeB使得同一份代码同时适配arma::vec、arma::fvec、arma::sp_vec等 Armadillo 类型。

四、把自定义距离接入算法：RangeSearch 实战

编写好距离类之后，就可以把它当作DistanceType模板参数交给任何 mlpack 算法。下面的代码在随机数据集上用ExampleDistance运行范围搜索（RangeSearch）：它实例化一个使用ExampleDistance与球树（BallTree）的RangeSearch对象，然后打印查询结果数量。

RangeSearch类共接收三个模板参数：DistanceType、MatType和TreeType。实际声明见 range_search.hpp：

template<typename DistanceType = EuclideanDistance, typename MatType = arma::mat, template<typename TreeDistanceType, typename TreeStatType, typename TreeMatType> class TreeType = KDTree> class RangeSearch;

示例代码：

// Create a random dataset with 10 dimensions and 5000 points. arma::mat data = arma::randu<arma::mat>(10, 5000); // Instantiate the RangeSearch object with the ExampleDistance. mlpack::RangeSearch<ExampleDistance, arma::mat, mlpack::BallTree> rs(data); // These vectors will store the results. std::vector<std::vector<size_t>> neighbors; std::vector<std::vector<double>> distances; // Create a random 10-dimensional query point. arma::vec query = arma::randu<arma::vec>(10); // Find those points with distance (according to ExampleDistance) between 1 // and 2 from the query point. rs.Search(query, mlpack::Range(1.0, 2.0), neighbors, distances); // Now, print the number of points inside the desired range. We know that // neighbors and distances will have length 1, since there was only one query // point. std::cout << neighbors[0].size() << " points within the range [1.0, 2.0] of the" << " query point!" << std::endl;

几点值得注意：

• 树类型与距离的耦合：TreeType（这里是mlpack::BallTree）会把DistanceType作为自己的树距离类型传入（Tree = TreeType<DistanceType, RangeSearchStat, MatType>，见 range_search.hpp）。这意味着你的距离度量必须能被树用于剪枝（通常要求满足三角不等式）；对不满足三角不等式的度量要格外小心。
• 有状态距离的传递：RangeSearch的构造函数还接受一个已实例化的DistanceType对象作为可选参数（默认值为DistanceType()），用于处理那些持有数据（如MahalanobisDistance持有的 Q 矩阵）的度量。
• 结果容器：neighbors与distances是std::vector<std::vector<size_t>>/std::vector<std::vector<double>>，外层下标对应查询点，内层是命中的邻居索引与其距离。因为只有一个查询点，所以外层长度为 1。

五、mlpack 内置的距离度量一览

mlpack 自带若干开箱即用的距离度量，全部满足DistanceType策略。它们集中定义在 src/mlpack/core/distances/ 目录下：

• ManhattanDistance：曼哈顿（L1）距离
• EuclideanDistance：欧氏（L2）距离
• ChebyshevDistance：切比雪夫（L∞）距离
• MahalanobisDistance：马氏距离，用协方差矩阵控制各维权重
• LMetric：任意 L 阶度量（L-p 度量）的通用模板
• IPMetric：内积度量，需要传入一个 KernelType 参数，计算核空间中的诱导距离
• IoUDistance：交并比（IoU）距离，用于边界框重叠度度量

这些度量可用于 KNN、NeighborSearch、RangeSearch、LMNN、EMST、NCA、RANN、KMeans 等多种基于距离的技术。

下面分别深入讲解每一类度量。

六、LMetric：通用的 L-p 度量

LMetric是 mlpack 最基础也最常用的距离模板，实现广义 L 度量（L1、L2、L3……L∞）。数学定义是：

d(x, y) = ( Σ_{i=1}^{n} | x_i - y_i |^p )^(1/p)

其模板声明为（见 lmetric.hpp）：

template<int TPower, bool TTakeRoot = true> class LMetric;

两个模板参数

便捷 typedef

源码在 lmetric.hpp 中提供了四个常用别名：

• ManhattanDistance=LMetric<1, false>（L1；对 L1 而言取不取根结果相同）
• EuclideanDistance=LMetric<2, true>（L2，开根号）
• SquaredEuclideanDistance=LMetric<2, false>（平方欧氏距离，注意这不是严格度量）
• ChebyshevDistance=LMetric<2147483647, false>（L∞，实现为max(|a - b|)）

从实现细节看（lmetric_impl.hpp）：

• L2 开根版本走arma::norm(a - b, 2)；
• 平方版本走accu(arma::square(a - b))，避免开方；
• L∞ 版本走arma::as_scalar(arma::max(arma::abs(a - b)))。

使用示例

// Create two vectors: [0, 1.0, 5.0] and [1.0, 3.0, 5.0]. arma::vec a("0.0 1.0 5.0"); arma::vec b("1.0 3.0 5.0"); const double d1 = mlpack::ManhattanDistance::Evaluate(a, b); // d1 = 3.0 const double d2 = mlpack::EuclideanDistance::Evaluate(a, b); // d2 = 2.24 const double d3 = mlpack::SquaredEuclideanDistance::Evaluate(a, b); // d3 = 5.0 const double d4 = mlpack::ChebyshevDistance::Evaluate(a, b); // d4 = 2.0 const double d5 = mlpack::LMetric<4>::Evaluate(a, b); // d5 = 2.03 const double d6 = mlpack::LMetric<3, false>::Evaluate(a, b); // d6 = 9.0 std::cout << "Manhattan distance: " << d1 << "." << std::endl; std::cout << "Euclidean distance: " << d2 << "." << std::endl; std::cout << "Squared Euclidean distance: " << d3 << "." << std::endl; std::cout << "Chebyshev distance: " << d4 << "." << std::endl; std::cout << "L4-distance: " << d5 << "." << std::endl; std::cout << "Cubed L3-distance: " << d6 << "." << std::endl; // Compute the distance between two random 10-dimensional vectors in a matrix. arma::mat m(10, 100, arma::fill::randu); const double d7 = mlpack::EuclideanDistance::Evaluate(m.col(0), m.col(7)); std::cout << std::endl; std::cout << "Distance between two random vectors: " << d7 << "." << std::endl; std::cout << std::endl; // Compute the distance between two 32-bit precision `float` vectors. arma::fvec fa("0.0 1.0 5.0"); arma::fvec fb("1.0 3.0 5.0"); const double d8 = mlpack::EuclideanDistance::Evaluate(fa, fb); // d8 = 2.236 std::cout << "Euclidean distance (fvec): " << d8 << "." << std::endl;

类型灵活性

传给Evaluate()的向量可以是任何实现了 Armadillo API 的类型，例如arma::fvec、arma::sp_fvec等。返回值类型取VecTypeA::elem_type（对arma::vec是double，对arma::fvec是float）。上面的示例同时演示了arma::vec（double）与arma::fvec（float）两种精度。

测试验证

单元测试位于 src/mlpack/tests/distance_test.cpp，例如：

• ManhattanDistanceTest验证a = [1.0, 3.0, 4.0]、b = [3.0, 3.0, 5.0]的曼哈顿距离为 3.0，且LMetric<1, true>与之相同（distance_test.cpp）；
• EuclideanDistanceTest验证欧氏距离等于sqrt(76.0)；
• ArbitraryCaseTest验证LMetric<3, false>结果为 503.0、LMetric<3, true>约为 7.9528（distance_test.cpp）；
• LINFMetricTest验证切比雪夫距离即max(|a - b|)；
• LMetricZerosTest验证各种Power下全零向量自距离为 0。

七、MahalanobisDistance：带权重矩阵的"拉伸欧氏距离"

MahalanobisDistance实现加权欧氏距离（马氏距离）。它需要一个逆协方差矩阵Q来控制各维度在距离计算中的权重，度量定义为：

d_Q(x, y) = sqrt((x - y)^T Q (x - y))

模板声明为（见 mahalanobis_distance.hpp）：

template<bool TakeRoot = true, typename MatType = arma::mat> class MahalanobisDistance;

模板参数

• TakeRoot：设为false时省略sqrt()，计算更快，但同样不再满足三角不等式。
• MatType：表示Q的矩阵类型，需满足 Armadillo API（如arma::mat、arma::fmat）。

构造与属性

实现上（mahalanobis_distance_impl.hpp），Evaluate()会先检查q.n_rows != a.n_elem并抛出维度不匹配异常，然后计算sqrt(as_scalar(m.t() * q * m))（TakeRoot为true时）。

使用注意事项

1. Q是逆协方差：很多教材用C^-1而不是Q。务必确保传入的Q是协方差矩阵的逆（例如可用arma::pinv()求伪逆），不要直接传入协方差矩阵本身。
2. 性能建议：与其把MahalanobisDistance直接当作距离度量喂给算法，通常更快的方式是：先把数据集按Q隐含的等价变换拉伸，再对变换后的数据集直接使用欧氏距离。具体做法是分解Q = R^T R（例如上三角 Cholesky 分解），然后用(R * dataset)作为新数据集。
3. 与树的兼容性：如果坚持在KNN等基于树的算法中使用MahalanobisDistance，需要换成非默认的树类型——默认的 KDTree 只支持LMetric类度量（见 mahalanobis_distance.hpp 的注释）。

使用示例

// Create random 10-dimensional data. arma::mat dataset(10, 100, arma::fill::randu); // Create a positive-definite Q matrix by using a weighting matrix W such that // Q = W^T W. arma::mat W(10, 10, arma::fill::randu); arma::mat Q = W.t() * W; // Create a MahalanobisDistance object with the given Q. mlpack::MahalanobisDistance md(std::move(Q)); std::cout << "Mahalanobis distance between points 3 and 4: " << md.Evaluate(dataset.col(3), dataset.col(4)) << "." << std::endl; // Now compare the Mahalanobis distance with the Euclidean distance on the // dataset transformed with W. (They are the same!) arma::mat transformedDataset = W * dataset; std::cout << "Mahalanobis distance between points 2 and 71: " << md.Evaluate(dataset.col(2), dataset.col(71)) << "." << std::endl; std::cout << "Euclidean distance between transformed points 2 and 71: " << mlpack::EuclideanDistance::Evaluate(transformedDataset.col(2), transformedDataset.col(71)) << "." << std::endl; // Create a Mahalanobis distance for 32-bit floating point data. arma::fmat floatDataset(20, 100, arma::fill::randn); // Use a random diagonal matrix as Q. arma::fmat fQ = arma::diagmat(arma::randu<arma::fvec>(20)); mlpack::MahalanobisDistance<false /* do not take square root */, arma::fmat> fmd; fmd.Q() = std::move(fQ); const double d1 = fmd.Evaluate(floatDataset.col(3), floatDataset.col(5)); const double d2 = fmd.Evaluate(floatDataset.col(11), floatDataset.col(31)); std::cout << "Squared Mahalanobis distance on 32-bit floating point data:" << std::endl; std::cout << " - Points 3 and 5: " << d1 << "." << std::endl; std::cout << " - Points 11 and 31: " << d2 << "." << std::endl; // Note that an equivalent transformation matrix can be recovered from Q with // an upper Cholesky decomposition (Q -> R.t() * R). arma::mat recoveredW = arma::chol(md.Q(), "lower"); // A transformed dataset can be created with `(recoveredW * dataset)`.

测试验证

测试文件 distance_test.cpp 对马氏距离覆盖了多种场景：

• MDUnsetCovarianceTest/MDRootUnsetCovarianceTest：默认构造后手动设置 Q（含TakeRoot=false与true两种）；
• MDEyeCovarianceTest/MDRootEyeCovarianceTest：用维度参数构造单位阵 Q；
• MDDiagonalCovarianceTest、MDFullCovarianceTest：对角线与非对角线 Q 的数值验证；
• MahalanobisDistanceSerializationTest：验证 Q 矩阵的序列化（cereal）往返一致性。

测试均以float/double两种精度参数化运行（TEMPLATE_TEST_CASE），并验证了对称性（Evaluate(a, b) == Evaluate(b, a)）。

八、IPMetric ：核空间中的诱导距离

IPMetric<KernelType>实现由给定核函数诱导出的距离。它利用核k(x, y)在核空间中构成内积这一事实，将距离定义为：

d(x, y) = sqrt(k(x, x) + k(y, y) - 2 k(x, y))

模板参数KernelType可以是 mlpack 的任意内置核函数，也可以是用户自实现的自定义核。注意：核必须是 Mercer 核（正定核），否则诱导度量可能无效（见 ip_metric.hpp 的注释）。

该类的一个典型应用是FastMKS（快速最大核搜索）：fastmks.hpp 中直接以IPMetric<KernelType>作为树的距离类型。

构造函数与属性

从实现看（ip_metric_impl.hpp），IPMetric内部通过指针持有内核，并用kernelOwner标志管理所有权：默认构造与拷贝构造时kernelOwner=true（负责 delete），传入外部内核时kernelOwner=false（不负责）。序列化时若处于加载状态会先释放旧内核再重新分配。

距离计算

d.Evaluate(x1, x2)

计算并返回两个向量x1、x2在核空间中的距离。x1、x2应为实现 Armadillo API 的向量类型（如arma::vec、arma::sp_vec），且必须是给定KernelType::Evaluate()的合法输入。

使用示例

// Create a few random points. arma::vec x1(3, arma::fill::randu); arma::vec x2(3, arma::fill::randu); arma::vec x3(3, arma::fill::randu); // Create a metric on the Epanechnikov kernel. mlpack::EpanechnikovKernel ek(1.5 /* bandwidth */); mlpack::IPMetric<mlpack::EpanechnikovKernel> ip1(ek); // Compute distances in kernel space, and compare with kernel evaluations. std::cout << "x1: " << x1.t(); std::cout << "x2: " << x2.t(); std::cout << "x3: " << x3.t(); std::cout << std::endl; std::cout << " ek(x1, x2): " << ek.Evaluate(x1, x2) << "." << std::endl; std::cout << " ip(x1, x2): " << ip1.Evaluate(x1, x2) << "." << std::endl; std::cout << std::endl; std::cout << " ek(x2, x3): " << ek.Evaluate(x2, x3) << "." << std::endl; std::cout << " ip(x2, x3): " << ip1.Evaluate(x2, x3) << "." << std::endl; std::cout << std::endl; std::cout << " ek(x1, x3): " << ek.Evaluate(x1, x3) << "." << std::endl; std::cout << " ip(x1, x3): " << ip1.Evaluate(x1, x3) << "." << std::endl; std::cout << std::endl; // Change the bandwidth of the kernel. ip1.Kernel().Bandwidth(2.0); std::cout << "With bandwidth 2.0:" << std::endl; std::cout << " ek(x1, x3): " << ek.Evaluate(x1, x3) << "." << std::endl; std::cout << " ip(x1, x3): " << ip1.Evaluate(x1, x3) << "." << std::endl; std::cout << std::endl; // Now create a metric on the LinearKernel. // This one is a bit of a trick! For the LinearKernel, the induced metric is // exactly the Euclidean distance. mlpack::IPMetric<mlpack::LinearKernel> ip2; std::cout << " Euclidean distance between x1/x2: " << mlpack::EuclideanDistance::Evaluate(x1, x2) << "." << std::endl; std::cout << " IPMetric<LinearKernel> between x1/x2: " << ip2.Evaluate(x1, x2) << "." << std::endl; // Compute the kernel space distance between two floating-point vectors. arma::fvec fx1(10, arma::fill::randu); arma::fvec fx2(10, arma::fill::randu); std::cout << "IPMetric<EpanechnikovKernel> result between two random " << "10-dimensional 32-bit floating point vectors:" << std::endl; std::cout << " " << ip1.Evaluate(fx1, fx2) << "." << std::endl;

有趣的细节：对于线性核（LinearKernel），诱导距离恰好就是欧氏距离。源码中为此专门做了模板特化，直接委托给LMetric<2, true>::Evaluate(a, b)（见 ip_metric_impl.hpp），这比走通用公式更高效，也印证了上面代码中ip2与EuclideanDistance结果一致的现象。

九、IoUDistance：边界框交并比距离

IoUDistance实现交并比（intersection-over-union）距离，用于度量两个边界框的重叠程度，与 Jaccard 指数 相关。其定义为：

d(x, y) = 1 - (intersection area / union area)

• 两个边界框完全重叠时距离为 0；
• 完全没有重叠时距离为 1。

从源码看（iou_distance.hpp），它的实现直接复用1.0 - IoU<UseCoordinates>::Evaluate(a, b)，其中IoU类位于 src/mlpack/core/metrics/iou_metric.hpp。与纯 IoU 度量相比，这个IoUDistance是满足三角不等式等度量性质的（依据 Kosub (2019) 关于 Jaccard 距离三角不等式的证明，见 iou_distance.hpp 中的参考文献注释）。

UseCoordinates 模板参数

类有一个布尔模板参数UseCoordinates（默认false），控制边界框的表示方式：

• IoUDistance<>（即IoUDistance<false>）：Evaluate()接收四元素向量[x0, y0, h, w]，其中(x0, y0)是边界框左下角，h是高，w是宽。
• IoUDistance<true>：Evaluate()接收四元素向量[x0, y0, x1, y1]，其中(x0, y0)是左下角，(x1, y1)是右上角。

若任一输入向量不是四元素，将抛出异常。建议用稠密向量表示边界框（稀疏表示一般没有必要，因为边界框通常不是稀疏的）。

使用示例

// Create three bounding boxes by representing the lower left and size. arma::vec bb1("0.0 0.0 3.0 5.0"); // Lower left at (0, 0), height=3, width=5. arma::vec bb2("2.0 2.0 5.0 2.0"); // Lower left at (2, 2), height=5, width=2. arma::vec bb3("1.0 1.0 1.5 1.0"); // Lower left at (1, 1), height=1.5, width=1. // Represent the same three bounding boxes in lower left/upper right form. arma::vec bb1Coord("0.0 0.0 5.0 3.0"); // Upper right is (5, 3). arma::vec bb2Coord("2.0 2.0 4.0 7.0"); // Upper right is (4, 7). arma::vec bb3Coord("1.0 1.0 2.0 2.5"); // Upper right is (2, 2.5). // Compute the distance between each of the bounding boxes using the // height/width representation. const double d1 = mlpack::IoUDistance<>::Evaluate(bb1, bb2); const double d2 = mlpack::IoUDistance<>::Evaluate(bb2, bb3); const double d3 = mlpack::IoUDistance<>::Evaluate(bb1, bb3); std::cout << "IoUDistance with width/height bounding box representations:" << std::endl; std::cout << " - ll=(0, 0), h=3, w=5 and ll=(2, 2), h=5, w=2: " << d1 << "." << std::endl; std::cout << " - ll=(0, 0), h=3, w=5 and ll=(1, 1), h=1.5, w=1: " << d3 << "." << std::endl; std::cout << " - ll=(2, 2), h=5, w=2 and ll=(1, 1), h=1.5, w=1: " << d2 << "." << std::endl; // Now compute the same distances with the other representation. const double d1Coord = mlpack::IoUDistance<true>::Evaluate(bb1Coord, bb2Coord); const double d2Coord = mlpack::IoUDistance<true>::Evaluate(bb2Coord, bb3Coord); const double d3Coord = mlpack::IoUDistance<true>::Evaluate(bb1Coord, bb3Coord); std::cout << "IoUDistance with two-coordinate bounding box representations:" << std::endl; std::cout << "(same bounding boxes as above)" << std::endl; std::cout << " - ll=(0, 0), ur=(5, 3) and ll=(2, 2), ur=(4, 7): " << d1Coord << "." << std::endl; std::cout << " - ll=(0, 0), ur=(5, 3) and ll=(1, 1), ur=(2, 2.5): " << d3Coord << "." << std::endl; std::cout << " - ll=(2, 2), ur=(4, 7) and ll=(1, 1), ur=(2, 2.5): " << d2Coord << "." << std::endl;

测试验证

IoUDistanceTest（distance_test.cpp）覆盖了两种表示：完全相同框距离为 0、以及坐标/宽高两种表示下与 Python 计算值一致的结果（误差 1e-6 内）。

十、实战要点总结

1. 接口最小化：实现DistanceType策略只需要默认构造函数 +Evaluate()；无状态度量记得把Evaluate()标记为static。
2. 向量类型泛型化：用template<typename VecTypeA, typename VecTypeB>编写Evaluate()，即可同时支持arma::vec、arma::fvec、arma::sp_vec等 Armadillo 类型。
3. 三角不等式是树算法的硬前提：TakeRoot=false的平方度量虽然更快，但不满足三角不等式；用于基于树的算法（KNN、RangeSearch、EMST 等）可能产生错误结果。源码中 BinarySpaceTree 的注释也明确警告了这一点（lmetric.hpp）。
4. 有状态度量要传递实例：MahalanobisDistance这类携带 Q 矩阵的度量，构造算法对象时应传入已实例化的距离对象，而非仅依赖默认构造。
5. 优先用内置度量：LMetric的模板特化（lmetric_impl.hpp）对常用阶数做了手工优化（如 L1 用accu(abs(a - b))、L2 用arma::norm），直接使用这些实现通常比自己写的循环更快。

本文内容以 doc/developer/distances.md 的策略说明为骨架，综合 doc/user/core/distances.md 的用户文档、src/mlpack/core/distances/ 的实现源码与 src/mlpack/tests/distance_test.cpp 的单元测试整理而成。建议读者在编写自定义距离后，参照这些测试的模式为自己的度量补充单元测试，确保对称性、零距离与数值精度符合预期。

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