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起点加速度不为 0 的 S 型速度规划方法（七段 S 曲线）

S 型速度规划通过限制加加速度（jerk），使加速度连续变化，从而获得平滑的速度和位置轨迹。当初始加速度a₀ ≠ 0时，需对标准 S 曲线进行适配。

1. 初始与目标状态

• 初始状态：
  位置s₀，速度v₀，加速度a₀

• 目标状态：
  位置s_f，速度v_f，加速度a_f（通常a_f = 0）

• 系统约束：
  最大速度v_max，最大加速度a_max，最大加加速度j_max > 0

2. 恒定加加速度段的运动学公式

在任意一段中，若加加速度j恒定（取值为+j_max或–j_max或 0），则该段内状态随时间t（从该段起始计时）变化为：

加速度：
a(t) = a_i + j · t

速度：
v(t) = v_i + a_i · t + (1/2) · j · t²

位置：
s(t) = s_i + v_i · t + (1/2) · a_i · t² + (1/6) · j · t³

其中：

• a_i, v_i, s_i为该段起始时刻的加速度、速度、位置；
• t ∈ [0, T]，T为该段时间长度；
• “·” 表示乘法（可用 × 或空格替代，Word 中推荐用 · 或直接省略）；
• 平方和立方使用 Unicode 上标：t²,t³。

3. 关键参数计算（起点 a₀ ≠ 0）

假设系统需从(s₀, v₀, a₀)平滑过渡到(s_f, v_f, 0)，且全程满足 |j| ≤ j_max、|a| ≤ a_max、|v| ≤ v_max。

（1）加速度调整所需最小时间

若当前加速度为a₀，目标中间加速度为a_target（例如 0 或 ±a_max），则通过恒定 jerk 调整所需时间为：

T_j = |a_target – a₀| / j_max

此段时间内 jerk 为：
j = sign(a_target – a₀) · j_max

（2）该段结束时的速度和位置

代入上述运动学公式，令t = T_j，得：

a₁ = a₀ + j · T_j = a_target
v₁ = v₀ + a₀ · T_j + (1/2) · j · T_j²
s₁ = s₀ + v₀ · T_j + (1/2) · a₀ · T_j² + (1/6) · j · T_j³

4. 完整七段结构（以加速-匀速-减速为例）

即使 a₀ ≠ 0，完整 S 曲线仍可由最多 7 段组成，每段 jerk 为 {+j_max, 0, –j_max} 之一：

1. Jerk⁺：j = +j_max（若需增大加速度）
2. Constant Accel：j = 0，a = a_max
3. Jerk⁻：j = –j_max（平滑进入匀速）
4. Constant Velocity：a = 0, j = 0
5. Jerk⁻：j = –j_max（开始减速）
6. Constant Decel：j = 0，a = –a_max
7. Jerk⁺：j = +j_max（平滑回到 a_f = 0）

当 a₀ ≠ 0 时，第 1 段可能被截断或反向（如 a₀ > 0 但需减速，则第 1 段为 Jerk⁻）。