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为了了解港大电路的频率响应特性，首先介绍普通一阶RC高通和低通电路的基本频率特性

RC高通-低通电路频率响应

高通电路

a图指示电路结构；b图是幅频曲线和相频曲线
Au⃗=Uo⃗Ui⃗=R⃗XC⃗+R⃗=R1j2πfC+R=11j2πfRC+1−−(1)\vec{A_{u}}=\frac{\vec{U_{o}}}{\vec{U_{i}}}=\frac{\vec{R}}{\vec{X_{C}}+\vec{R}}=\frac{R}{\frac{1}{j2\pi fC}+R}=\frac{1}{\frac{1}{j2\pi fRC}+1}--(1)Au​​=Ui​​Uo​​​=XC​​+RR​=j2πfC1​+RR​=j2πfRC1​+11​−−(1)

下限截止频fLf_{L}fL​：指幅值衰减到原来的-3db也就是原来的12\frac{1}{\sqrt{ 2 }}2​1​时对应的频率，也就是说此时∣Au∣=12|A_{u}|=\frac{1}{\sqrt{ 2 }}∣Au​∣=2​1​，结合式(1)得出此时2πfRC=12\pi fRC =12πfRC=1,所以截止频率fL=12πRC，ωL=1RC，其中R是从C两端看出去的等效电阻f_{L}=\frac{1}{2\pi RC}，\omega_{L}=\frac{1}{RC}，其中R是从C两端看出去的等效电阻fL​=2πRC1​，ωL​=RC1​，其中R是从C两端看出去的等效电阻

此时的幅频公式可以写为Au⃗=jffL1+jffL\vec{A_{u}}=\frac{j\frac{f}{f_{L}}}{1+j\frac{f}{f_{L}}}Au​​=1+jfL​f​jfL​f​​

• 这里用到：复数的模满足：∣Z1Z2∣=∣Z1∣∣Z2∣\left| \frac{Z_1}{Z_2} \right| = \frac{|Z_1|}{|Z_2|}​Z2​Z1​​​=∣Z2​∣∣Z1​∣​（Z1、Z2Z_1、Z_2Z1​、Z2​为复数）
  达到下限截止频率时，有以下特性

1. 容抗和电阻R相等
2. 输出幅值变为原来的12\frac{1}{\sqrt{ 2 }}2​1​
3. 输出电压相位超前输入电压45°，也就是说输出电压峰值先于输入电压45°到达
4. 上面给出的幅频曲线是实际的，略微弯曲，实际经常用抽象过的代替，斜线和直线的交点处就是截止频率对应的位置（低通也一样）
   

低通电路

低通电路如图

同理可得，低通时有高频截止频率fHf_{H}fH​

fH=12πRC，ωH=1RC，其中R是从C两端看出去的等效电阻Au⃗=11+jffH\begin{align} &f_{H}=\frac{1}{2\pi RC}，\omega_{H}=\frac{1}{RC}，其中R是从C两端看出去的等效电阻\\ &\vec{A_{u}}=\frac{1}{1+j\frac{f}{f_{H}}} \\ \end{align}​fH​=2πRC1​，ωH​=RC1​，其中R是从C两端看出去的等效电阻Au​​=1+jfH​f​1​​​

达到上限截止频率时，有以下特性

1. 容抗和电阻R相等
2. 输出幅值变为原来的12\frac{1}{\sqrt{ 2 }}2​1​
3. 输出电压相位滞后输入电压45°，也就是说输出电压峰值后于输入电压45°到达

波特图

引入：如果要研究放大电路发频率响应就要研究幅频曲线和相频曲线。对于频率来说我们要关心全频段的响应，但频率的范围一般都比较大，从几Hz的低频到上GHz的高频都要关注。那么如果用传统的坐标系，X轴就要花的很长，较短频段内的波形细节都无法看到了。对数坐标很好解决这个问题，对数坐标每10倍频等分，那么1GHz的频段反映在对数坐标轴上也就9等分而已，好像瞬间把很长的坐标轴拉短了，且每10倍频的波形细节也都展现了出来（理解这个思路，理解对数坐标的精妙之处）。

同样的，对于幅频曲线中的放大倍数来说，多级电路的放大倍数会很大，所以我们也用对数拉短Y轴，但是用的是行业比较常用的db概念，对于电压来说1dB=20∗log⁡10(V1V0)=20log⁡10∣Au⃗∣1dB = 20 * \log_{10}(\frac{V_{1}}{V_{0}})=20\log_{10}|\vec{Au}|1dB=20∗log10​(V0​V1​​)=20log10​∣Au∣

常识：

• -3dB对应幅值变为原来12\frac{1}{\sqrt{ 2 }}2​1​,也就是截止频率的点（也是输出功率变为原来一半的点）
• 0dB对应放大倍数=1，大于0放大，小于0衰减

所以对于高通电路来说dB=20log⁡10∣Au⃗∣=20lgffL−20lg1+(ffL)2dB=20\log_{10}|\vec{Au}|=20lg\frac{f}{f_{L}}-20lg\sqrt{ 1+ (\frac{f}{f_{L}})^2 }dB=20log10​∣Au∣=20lgfL​f​−20lg1+(fL​f​)2​

当f>>fL时，dB值约等于0，也就是说输出几乎等于输入，由于RC高通电路没有放大功能，所以dB最大也就是0
当f<<fL时，20log⁡10∣Au⃗∣≈20lgffL20\log_{10}|\vec{Au}|\approx20lg\frac{f}{f_{L}}20log10​∣Au∣≈20lgfL​f​,dB小于零，衰减作用随频率的降低而降低
基本上，

• fL增大十倍频时，相位差为0，输入输出基本同向
• fL减小十倍频，相位差90°，输出提前输入90°相位
• 另外在0.1fL-10fL之间近似认为，每十倍频放大倍数下降20dB。这是一阶高通电路的特性。
  低通电路同理，不另作分析。
  高/低通对应频率响应曲线如下图
  

对于使用对数作为横坐标，dB作为纵坐标做出的幅频曲线和相频曲线称为波特图
做波特图的步骤（思路），以高通电路为例

1. 计算fL，fL=12πRCf_{L}=\frac{1}{2\pi RC}fL​=2πRC1​，R是从C两端看出去的等效阻抗
2. 做幅频曲线：波特图坐标轴上向下做20dB/十倍频的斜线
3. 做相频曲线：fL对应的是+45°，10fL对应0°，0.1fL对应90°

三极管的高频等效混合Π模型

引入

放大电路的频率响应如图，它包含低频段，中频段和高频段。低频段的衰减对应阻容式耦合放大电路中电容低频段直流通过性差的问题；高频段衰减对应PN结的结电容效应，频率高到一定程度后结电容就不能忽略了。
关于PN结结电容的详细分析，见基本元器件介绍专栏-二极管介绍中的结电容内容https://blog.csdn.net/weixin_60583321/article/details/155786815?fromshare=blogdetail&sharetype=blogdetail&sharerId=155786815&sharerefer=PC&sharesource=weixin_60583321&sharefrom=from_link

再次观察放大电路的频率响应图（本文第一张图），

• 中低频段相当于一个高通电路，它是由于阻容式耦合中的耦合电容的存在引起的，使用H参数等效模型就能分析，
• 中高频段相当于一个低通电路，它是由于PN结的结电容引起的，频率高到一定程度后，结电不可忽略，且由于结电容的效应，随着频率的升高，放大电路的增益会降低，呈现低通特性，由于H参数模型并不包含结电容的影响，所以需要另外一个高频时的三极管等效模型，就是混合Π模型

混合Π模型的构成

如图a是三极管加上结电容后的物理结构，在原来的基础上增加了发射结电容Cb′e′又称CπC_{b'e'}又称C_{\pi}Cb′e′​又称Cπ​以及集电结电容Cb′c′又称CμC_{b'c'}又称C_{\mu}Cb′c′​又称Cμ​，还有集电结的反偏电阻rbc′r_{bc'}rbc′​

之前三极管介绍时介绍过，三极管基区的掺杂浓度很低，基区的体电阻rbb′r_{bb'}rbb′​比较大，越100-300Ω，不可忽略。而集电区和发射区掺杂浓度高，它们的体电阻rb,rer_{b},r_{e}rb​,re​很小，可以忽略。
利用节点法，像分析H参数一样，将各个部分等效出来就是完整的三极管高频等效的混合Π模型，如图b

图b中其它部分都很好理解，介绍下以下参数的来源
rcer_{ce}rce​:就是ce间的电阻，一般很大（约几十k，但比起负载已经很大了），可以忽略
rbc′r_{bc'}rbc′​:集电结的反偏电阻，比较大（锗管约100k，硅管约500k），远大于CμC_{\mu}Cμ​容抗，分析时也可以忽略
gmUb′eg_{m}U_{b'e}gm​Ub′e​：由于CπC_{\pi}Cπ​与CμC_{\mu}Cμ​的存在，使相量形式的集电极电流I˙c\dot{I}_cI˙c​和基极电流I˙b\dot{I}_bI˙b​的大小、相角均与频率有关，即电流放大系数是频率的函数，应记作相量形式的β˙\dot{\beta}β˙​。
根据半导体物理的分析，晶体管的受控电流I˙c\dot{I}_cI˙c​与发射结电压U˙be\dot{U}_{be}U˙be​成线性关系，且与信号频率无关。因此，混合π模型中引入了一个新参数gmg_mgm​（gmg_mgm​为跨导），用于描述发射结电压U˙be\dot{U}_{be}U˙be​对集电极电流I˙c\dot{I}_cI˙c​的控制作用，其关系为：I˙c=gmU˙be\dot{I}_c = g_m \dot{U}_{be}I˙c​=gm​U˙be​

以上的等效模型是物理等效模型（混合Π模型），不受频率限制，适用于所有频段
该模型在中低频段分析时，两个电容就可以忽略了，再去掉rbc′r_{bc'}rbc′​和rcer_{ce}rce​Π模型就转变成了的H参数等效模型

简化的Π模型

由于CμC_{\mu}Cμ​跨接在输入和输出回路之间使得电路分析比较复杂。因此，为简单起见，将CμC_{\mu}Cμ​等效到输入回路和输出回路中去，称为单向化。单向化是通过等效变换来实现的，设CμC_{\mu}Cμ​折合到 b’ - e 间的电容为Cμ′C_{\mu}'Cμ′​,折合到 c - e 间的电容为Cμ′′C_{\mu}''Cμ′′​,则单向化之后的电路如图b所示。(这里单向化的合理性其实本人不是很理解，查阅一些资料，涉及到这部分都是直接带过，如果有比较懂的欢迎评论区交流)

这里两个等效的电容都是通过戴维南等效实现的，所以计算也按照等效的思路，计算端口的电压和电流的关系，二者的比值就是容抗，具体如下
以计算Cμ′C_{\mu}'Cμ′​为例，为从CμC_{\mu}Cμ​左侧向右侧看进去的等效

1. 端口电压为Ub′eU_{b'e}Ub′e​

2. 端口电流I˙Cμ=U˙b′e−U˙ceXCμ\dot{I}_{C_{\mu}} = \frac{\dot{U}_{b'e} - \dot{U}_{ce}}{X_{C_{\mu}}}I˙Cμ​​=XCμ​​U˙b′e​−U˙ce​​

3. 计算Cμ′C_{\mu}'Cμ′​阻抗，可以看到直接计算的话，式子中有Uce，导致无法直观的计算，所以取一个系数K，另(K˙=U˙ceU˙b′e)\quad \left( \dot{K} = \frac{\dot{U}_{ce}}{\dot{U}_{b'e}} \right)(K˙=U˙b′e​U˙ce​​),这样Ube’就能消掉了。

I˙Cμ=U˙b′e−U˙ceXCμ=(1−K˙)U˙b′eXCμ(K˙=U˙ceU˙b′e)\dot{I}_{C_{\mu}} = \frac{\dot{U}_{b'e} - \dot{U}_{ce}}{X_{C_{\mu}}} = \frac{(1 - \dot{K})\dot{U}_{b'e}}{X_{C_{\mu}}} \quad \left( \dot{K} = \frac{\dot{U}_{ce}}{\dot{U}_{b'e}} \right)I˙Cμ​​=XCμ​​U˙b′e​−U˙ce​​=XCμ​​(1−K˙)U˙b′e​​(K˙=U˙b′e​U˙ce​​)

XCμ′=U˙b′eI˙Cμ=U˙b′e(1−K˙)U˙b′eXCμ=XCμ1−K˙X_{C'_{\mu}} = \frac{\dot{U}_{b'e}}{\dot{I}_{C_{\mu}}} = \frac{\dot{U}_{b'e}}{(1 - \dot{K})\frac{\dot{U}_{b'e}}{X_{C_{\mu}}}} = \frac{X_{C_{\mu}}}{1 - \dot{K}}XCμ′​​=I˙Cμ​​U˙b′e​​=(1−K˙)XCμ​​U˙b′e​​U˙b′e​​=1−K˙XCμ​​​

Cμ′=(1−K˙)Cμ,由于U˙ce与U˙b′e反相，所以∣K˙∣=−K˙，Cμ′≈(1+∣K˙∣)CμC'_{\mu} = (1 - \dot{K})C_{\mu} ,由于\dot{U}_{ce}与\dot{U}_{b'e}反相，所以|\dot{K}| = -\dot{K} ，C'_{\mu}\approx (1 + |\dot{K}|)C_{\mu}Cμ′​=(1−K˙)Cμ​,由于U˙ce​与U˙b′e​反相，所以∣K˙∣=−K˙，Cμ′​≈(1+∣K˙∣)Cμ​

所以等效过来的电容容值大于CμC_{\mu}Cμ​
Cμ′C_{\mu}'Cμ′​和CμC_{\mu}Cμ​的关系是与电路状态有关且变化的(K值是变化的)
则b’e之间的总电容为
Cπ′=Cπ+Cμ′≈Cπ+(1+∣K˙∣)CμC'_{\pi} = C_{\pi} + C'_{\mu} \approx C_{\pi} + (1 + |\dot{K}|)C_{\mu} \quadCπ′​=Cπ​+Cμ′​≈Cπ​+(1+∣K˙∣)Cμ​

同理计算出Cμ′′C_{\mu}''Cμ′′​
Cμ′′=K˙−1K˙⋅CμC''_{\mu} = \frac{\dot{K} - 1}{\dot{K}} \cdot C_{\mu} \quadCμ′′​=K˙K˙−1​⋅Cμ​
这个值非常小，容抗很大，远大于负载RL，Cμ′′C''_{\mu}Cμ′′​中的电流可忽略不计，所以简化的混合π\piπ模型如图( c )所示

混合Π模型主要参数及其求解

模型中的有些参数手册是直接给出的，有rbb′,Cob(就是bc间的电容Cμ),特征频率fT,中低频电流放大倍数βr_{bb'},C_{ob}(就是bc间的电容C_{\mu}),特征频率f_T,中低频电流放大倍数\betarbb′​,Cob​(就是bc间的电容Cμ​),特征频率fT​,中低频电流放大倍数β.
剩下的参数Cπ,gm,rb′eC_{\pi},g_{m},r_{b'e}Cπ​,gm​,rb′e​就需要求解得出了
rb′er_{b'e}rb′e​:直接由静态工作点参数通过公式得出，rb′e=(1+β0)UTIEQ,UT=26mVr_{b'e}=(1+\beta_{0}) \frac{U_{T}}{I_{EQ}},U_{T}=26mVrb′e​=(1+β0​)IEQ​UT​​,UT​=26mV，式中β0\beta_0β0​为低频段晶体管的电流放大系数。

gmg_{m}gm​:在中低频时Π模型和H模型等效，则可以利用两种模型下ic电流相等来计算出跨导gmg_{m}gm​.则I˙c=gmU˙b′e=β0I˙b，由于U˙b′e=I˙brb′e\dot{I}_c = g_m \dot{U}_{b'e} = \beta_0 \dot{I}_b，由于\dot{U}_{b'e} = \dot{I}_b r_{b'e}I˙c​=gm​U˙b′e​=β0​I˙b​，由于U˙b′e​=I˙b​rb′e​，推出gm=β0rb′e≈IEQUTg_m = \frac{\beta_0}{r_{b'e}} \approx \frac{I_{EQ}}{U_T} \quadgm​=rb′e​β0​​≈UT​IEQ​​

CπC_{\pi}Cπ​：CπC_{\pi}Cπ​的数值可通过手册给出的特征频率fTf_TfT​和放大电路的静态工作点求解

求解CπC_{\pi}Cπ​:放大倍数β的频率响应

fTf_TfT​截止频率定义：随着频率的上升，放大倍数β会下降，当β下降到等于1时对应的频率为fTf_{T}fT​

从混合πππ等效模型可以看出，管子工作在高频段时，若基极注入的交流电流I˙b\dot{I}_bI˙b​的幅值不变，则随着信号频率的升高，b′−eb' - eb′−e间的电压U˙b′e\dot{U}_{b'e}U˙b′e​的幅值将减小，相移将增大；从而使I˙c\dot{I}_cI˙c​的幅值随着∣U˙b′e∣|\dot{U}_{b'e}|∣U˙b′e​∣线性下降，并产生与U˙b′e\dot{U}_{b'e}U˙b′e​相同的相移。可见，在高频段，当信号频率变化时I˙c\dot{I}_cI˙c​与I˙b\dot{I}_bI˙b​的关系也随之变化，电流放大系数不是常量，β˙\dot{\beta}β˙​是频率的函数。

根据电流放大系数的定义β˙=I˙cI˙b∣UCE\dot{\beta} = \frac{\dot{I}_c}{\dot{I}_b}\big|_{U_{CE}}β˙​=I˙b​I˙c​​​UCE​​

c-e电压是定值，表明β˙\dot{\beta}β˙​是在c−ec - ec−e间无动态电压，即令简化的Π模型所示电路中c−ec - ec−e间电压为零时动态电流I˙c\dot{I}_cI˙c​与I˙b\dot{I}_bI˙b​之比，动态分析，认为Uce=0，因此K˙=0\dot{K} = 0K˙=0。则
注意这里只是为了求β的频响，假定了Uce是个定值，进而K才能等于0，其它情况K不一定等于0。

Cπ′≈Cπ+(1+∣K˙∣)Cμ=Cπ+CμC'_{\pi} \approx C_{\pi} + (1 + |\dot{K}|)C_{\mu} = C_{\pi} + C_{\mu}Cπ′​≈Cπ​+(1+∣K˙∣)Cμ​=Cπ​+Cμ​

由于I˙c=gmU˙b′e\dot{I}_c = g_m \dot{U}_{b'e}I˙c​=gm​U˙b′e​，gm=β0/rb′eg_m = \beta_0 / r_{b'e}gm​=β0​/rb′e​，所以β˙=I˙cI˙b+I˙Cπ′=gmU˙b′eU˙b′e(1rb′e+jωCπ′)=β01+jωrb′eCπ′\dot{\beta} = \frac{\dot{I}_c}{\dot{I}_b + \dot{I}_{C'_{\pi}}} = \frac{g_m \dot{U}_{b'e}}{\dot{U}_{b'e} \left( \frac{1}{r_{b'e}} + j\omega C'_{\pi} \right)} = \frac{\beta_0}{1 + j\omega r_{b'e} C'_{\pi}} \quadβ˙​=I˙b​+I˙Cπ′​​I˙c​​=U˙b′e​(rb′e​1​+jωCπ′​)gm​U˙b′e​​=1+jωrb′e​Cπ′​β0​​

与低通电路放大倍数公式的形式完全一样，说明β˙\dot{\beta}β˙​的频率响应与低通电路相似。fβf_{\beta}fβ​为β˙\dot{\beta}β˙​的截止频率，称为共射截止频率。

fβ=12πτ=12πrb′eCπ′(Cπ′=Cπ+Cμ)(1)f_{\beta} = \frac{1}{2\pi \tau} = \frac{1}{2\pi r_{b'e} C'_{\pi}} \quad (C'_{\pi} = C_{\pi} + C_{\mu}) \quad (1)fβ​=2πτ1​=2πrb′e​Cπ′​1​(Cπ′​=Cπ​+Cμ​)(1)

将其代入β表达式，其中f=ω2πf = \frac{\omega}{2\pi}f=2πω​，得出β˙=β01+jffβ\dot{\beta} = \frac{\beta_0}{1 + j\frac{f}{f_{\beta}}} \quadβ˙​=1+jfβ​f​β0​​

写出β˙\dot{\beta}β˙​的对数幅频特性与对数相频特性为{20lg⁡∣β˙∣=20lg⁡β0−20lg⁡1+(ffβ)2φ=−arctan⁡ffβ(5.2.9b)\begin{cases} 20\lg |\dot{\beta}| = 20\lg \beta_0 - 20\lg \sqrt{1 + \left( \frac{f}{f_{\beta}} \right)^2} \quad \\ \varphi = -\arctan \frac{f}{f_{\beta}} \quad (5.2.9b) \end{cases}⎩⎨⎧​20lg∣β˙​∣=20lgβ0​−20lg1+(fβ​f​)2​φ=−arctanfβ​f​(5.2.9b)​

画出β˙\dot{\beta}β˙​的折线化波特图如下图所示

令式β的幅频特性公式等于0，则f=fTf = f_Tf=fT​，由此可求出fTf_TfT​：20lg⁡β0−20lg⁡1+(fTfβ)2=0或1+(fTfβ)2=β020\lg \beta_0 - 20\lg \sqrt{1 + \left( \frac{f_T}{f_{\beta}} \right)^2} = 0 \quad 或 \quad \sqrt{1 + \left( \frac{f_T}{f_{\beta}} \right)^2} = \beta_020lgβ0​−20lg1+(fβ​fT​​)2​=0或1+(fβ​fT​​)2​=β0​

一般情况下fT>>fβf_T >> f_{\beta}fT​>>fβ​，所以fT≈β0fβ(2)f_T \approx \beta_0 f_{\beta} \quad (2)fT​≈β0​fβ​(2)

联合式(1)、(2) 就可求出CπC_{\pi}Cπ​的值

Cπ′=β02πrb′efT(Cπ′=Cπ+Cμ) C'_{\pi}= \frac{\beta_{0}}{2\pi r_{b'e}f_{T}} \quad (C'_{\pi} = C_{\pi} + C_{\mu}) \quadCπ′​=2πrb′e​fT​β0​​(Cπ′​=Cπ​+Cμ​)

所以总结CπC_{\pi}Cπ​的求解步骤
在器件手册中查出fβf_{\beta}fβ​（或fTf_TfT​）和CobC_{ob}Cob​（近似为CμC_{\mu}Cμ​），并估算出发射极静态电流IEQI_{EQ}IEQ​，从而得到rb′er_{b'e}rb′e​，再根据上面的公式就可求出CπC_{\pi}Cπ​的值。
但前面也提到，这个公式的目的只是为了求CπC_{\pi}Cπ​,CπC_{\pi}Cπ​的值不变，但Cπ’C_{\pi}’Cπ​’的值会随K的值改变。这里仅仅是通过假定的一个case（Uce不变）来求出CπC_{\pi}Cπ​的值，实际是大多数情况下K不为0，那Cπ′C_{\pi}'Cπ′​就不能用上式计算了，需要用Cπ′≈Cπ+(1+∣K˙∣)CμC'_{\pi} \approx C_{\pi} + (1 + |\dot{K}|)C_{\mu}Cπ′​≈Cπ​+(1+∣K˙∣)Cμ​来算。但通常在高频分析时K的值不好计算，所以经常用中频段求出的K直接用于高频段计算，误差也不大

总结：
所以rb′e,gm都是和静态工作点有关的。而Cπ和静态还有动态截止频率有关r_{b'e},g_{m}都是和静态工作点有关的。而C_{\pi}和静态还有动态截止频率有关rb′e​,gm​都是和静态工作点有关的。而Cπ​和静态还有动态截止频率有关