企业官网建设流程全解析

摘要——互耦效应和自由度（DOF）是平面稀疏阵列（PSA）设计中需要考虑的两个重要因素。本文通过引入有效差分共阵列概念，并将开箱阵列（OBA）的密集阵列元素重新分布到外部对角直线上，提出了两种新的平面稀疏几何结构，分别称为半 H 形阵列和梯形阵列。新结构的检测能力可以保持在与 OBA 相同的水平。此外，它们拥有更少的紧密间距传感器对，从而显著降低了相邻传感器之间的互耦。基于二维酉 ESPRIT 算法的波达方向估计仿真验证了所提 PSA 的优越性。

索引词——平面稀疏阵列，开箱阵列，互耦，DOA 估计。

受这些著名的非均匀线阵（NLA）的启发，一些用于二维（2D）DOA 估计的 PSA 被提出。L 型嵌套阵列 [17], [18] 和 2D 互质阵列 [19]–[21] 被提出，旨在通过比较稀疏子阵列结果并利用快速谱搜索方法来成功且快速地解决模糊问题。然而，可分辨信源的数量并未显著增加。为了获得具有更高 DOF 的无孔虚拟 URA，基于差分共阵列（DCA）概念提出了几种封闭形式的几何结构，包括广告牌阵列、2D 嵌套阵列和开箱阵列 [22]–[24]。在这些 PSA 中，给定相同数量的传感器，开箱阵列可以获得最高的 DOF。

然而，由于物理传感器在边界上的密集分布，互耦不可忽略。为了解决这个问题，一系列改进的结构，例如部分开箱阵列（POBA）、半开箱阵列（HOBA）、双层半开箱阵列（HOBA-2）和沙漏阵列（HA），被相继提出 [25], [26]。在这些稀疏阵列中，HA 被证明在减少互耦方面具有最佳性能，但值得注意的是，间距为( 0 , 1 ) (0, 1)(0,1)的传感器对数量仍然很高。在该结构的优化方面仍有很大空间，需要进一步探索改进方法。

在本文中，我们放宽了 DCA 的约束，允许虚拟共阵列成为有孔阵列。只要 DCA 中的连续区域是与 OBA 尺寸相同的 URA，就可以实现相同数量的 DOF。基于这一策略，我们首先将 OBA 中的垂直元素移动到外部对角直线上，以保证有效 URA 尺寸与 OBA 相同。由此产生的半 H 形阵列（half
H array，HHA）仅有 2 对间距为( 0 , 1 ) (0, 1)(0,1)的传感器对，以及 1 对贡献差分位置( 1 , 1 ) (1, 1)(1,1)和( 1 , − 1 ) (1, -1)(1,−1)的传感器对。然而，间距为( 1 , 0 ) (1, 0)(1,0)处的数量仍然很高。接着，为了进一步减少水平方向的干扰，通过将部分 x 轴元素重新分布到上层行，提出了另一种被称为梯形阵列（LA）的 2D 几何结构。所提出的 HHA 和 LA 结构实现了相同数量的 DOF，但互耦比其他 OBA 低得多。

III. THE PROPOSED HALF H ARRAY AND LADDER ARRAY

首先，我们将介绍有效差分共阵列的概念。

定义 1（有效差分共阵列，Effective Difference Co-Array，EDCA）：给定一个平面稀疏阵列S \mathbb{S}S及其差分共阵列D \mathbb{D}D，有效差分共阵列（记为R \mathbb{R}R）被定义为D \mathbb{D}D中具有最大二维孔径的中心 URA。

上述定义在 [31] 中被称为连续共阵列（contiguous co-array）。为了更好地理解，我们在本文中将其重命名并缩写为 EDCA。在之前的研究中，OBA 的推广是在条件D = R \mathbb{D} = \mathbb{R}D=R下考虑的。因此，阵元必须分布在 OBA 内部 [25], [26]。然而，对于任何 PSA，只要能够提取出与 OBA 尺寸相同的虚拟 URA（即R P S A = D O B A \mathbb{R}_{\mathrm{PSA}} = \mathbb{D}_{\mathrm{OBA}}RPSA​=DOBA​），就可以直接应用 2D 空间平滑算法。因此，可以保证相同的 DOF。基于这种 EDCA 不变性策略，允许阵元移动到 OBA 的外部，从而导致传感器间距增加。在下文中，我们将逐步改进该结构。为了分离垂直方向的密集阵元，我们首先提出以下的半 H 形阵列配置。

A. Half H Array

定义 2（半 H 形阵列，HHA）：对于两个正整数N x ≥ 3 N_x \ge 3Nx​≥3和N y ≥ 2 N_y \ge 2Ny​≥2，半 H 形阵列定义为一个物理传感器位于以下网格上的 PSA
S H H A = H ∪ V 11 ∪ V 12 ∪ V 21 ∪ V 22 , (5) \mathbb{S}_{\mathrm{HHA}} = \mathbb{H} \cup \mathbb{V}_{11} \cup \mathbb{V}_{12} \cup \mathbb{V}_{21} \cup \mathbb{V}_{22}, \tag{5}SHHA​=H∪V11​∪V12​∪V21​∪V22​,(5)
其中
{ H = { ( n x , 0 ) ∣ n x ∈ S x } , S x = { 0 , ⋯ , N x − 1 } V 11 = { ( 0 , n y ) ∣ n y ∈ v 11 } , v 11 = { 1 + 2 ℓ ∣ 0 ≤ ℓ ≤ ⌊ N y − 2 2 ⌋ } V 12 = { ( N x − 1 , − n y ) ∣ n y ∈ v 12 } , v 12 = { 2 ℓ ∣ 1 ≤ ℓ ≤ ⌊ N y − 1 2 ⌋ } V 21 = { ( N x − 1 , n y ) ∣ n y ∈ v 21 } , v 21 = v 11 V 22 = { ( 0 , − n y ) ∣ n y ∈ v 22 } , v 22 = v 12 . \begin{cases} \mathbb{H} = \{(n_x, 0) \mid n_x \in S_x\}, \quad S_x = \{0, \cdots, N_x - 1\} \\ \mathbb{V}_{11} = \{(0, n_y) \mid n_y \in v_{11}\}, \\ \quad \quad v_{11} = \{1 + 2\ell \mid 0 \le \ell \le \lfloor \frac{N_y - 2}{2} \rfloor\} \\ \mathbb{V}_{12} = \{(N_x - 1, -n_y) \mid n_y \in v_{12}\}, \\ \quad \quad v_{12} = \{2\ell \mid 1 \le \ell \le \lfloor \frac{N_y - 1}{2} \rfloor\} \\ \mathbb{V}_{21} = \{(N_x - 1, n_y) \mid n_y \in v_{21}\}, \quad v_{21} = v_{11} \\ \mathbb{V}_{22} = \{(0, -n_y) \mid n_y \in v_{22}\}, \quad v_{22} = v_{12}. \end{cases}⎩⎨⎧​H={(nx​,0)∣nx​∈Sx​},Sx​={0,⋯,Nx​−1}V11​={(0,ny​)∣ny​∈v11​},v11​={1+2ℓ∣0≤ℓ≤⌊2Ny​−2​⌋}V12​={(Nx​−1,−ny​)∣ny​∈v12​},v12​={2ℓ∣1≤ℓ≤⌊2Ny​−1​⌋}V21​={(Nx​−1,ny​)∣ny​∈v21​},v21​=v11​V22​={(0,−ny​)∣ny​∈v22​},v22​=v12​.​

根据定义，很容易推导出v 11 ∪ v 12 = v 21 ∪ v 22 = S y = { 1 , ⋯ , N y − 1 } v_{11} \cup v_{12} = v_{21} \cup v_{22} = S_y = \{1, \cdots, N_y - 1\}v11​∪v12​=v21​∪v22​=Sy​={1,⋯,Ny​−1}。

作为示例，图 1 展示了一个N x = 13 N_x = 13Nx​=13且N y = 11 N_y = 11Ny​=11的 HHA。可以观察到，在 x 轴上有一个间距为 1 的 13 阵元均匀线阵（ULA）。y 方向的阵元分布在两条线n x = 0 n_x = 0nx​=0和n x = N x − 1 n_x = N_x - 1nx​=Nx​−1上。x 轴上方的部分是两个奇数序列，即n y = { 1 , 3 , 5 , 7 , 9 } n_y = \{1, 3, 5, 7, 9\}ny​={1,3,5,7,9}。下半部分是两个偶数序列集合，即n y = { − 2 , − 4 , − 6 , − 8 , − 10 } n_y = \{-2, -4, -6, -8, -10\}ny​={−2,−4,−6,−8,−10}。每个集合中的相邻传感器间距为 2。此外，v 11 ∪ v 12 = v 21 ∪ v 22 = { 1 , ⋯ , 9 } v_{11} \cup v_{12} = v_{21} \cup v_{22} = \{1, \cdots, 9\}v11​∪v12​=v21​∪v22​={1,⋯,9}。传感器总数为N x + 2 ( N y − 1 ) = 33 N_x + 2(N_y - 1) = 33Nx​+2(Ny​−1)=33。

定义间距ℓ ⃗ = ( ℓ x , ℓ y ) \vec{\ell} = (\ell_x, \ell_y)ℓ=(ℓx​,ℓy​)的冗余函数为w ( ℓ ⃗ ) = ∣ { ( p i , p j ) ∣ p i , p j ∈ S , p i − p j = ℓ ⃗ } ∣ w(\vec{\ell}) = |\{(\mathbf{p}_i, \mathbf{p}_j) \mid \mathbf{p}_i, \mathbf{p}_j \in \mathbb{S}, \mathbf{p}_i - \mathbf{p}_j = \vec{\ell}\}|w(ℓ)=∣{(pi​,pj​)∣pi​,pj​∈S,pi​−pj​=ℓ}∣，其中∣ ⋅ ∣ |\cdot|∣⋅∣表示内部元素的数量。那么，半 H 形阵列的 EDCA 具有以下性质。

定理 1：对于两个正整数N x ≥ 3 , N y ≥ 2 N_x \ge 3, N_y \ge 2Nx​≥3,Ny​≥2，(5) 中定义的半 H 形阵列具有与开箱阵列相同的 EDCA（即R H H A = R O B A \mathbb{R}_{\mathrm{HHA}} = \mathbb{R}_{\mathrm{OBA}}RHHA​=ROBA​），但具有小间距的传感器对要少得多。冗余函数可以表示为w ( 0 , 1 ) = 2 w(0, 1) = 2w(0,1)=2，w ( 1 , 1 ) = w ( 1 , − 1 ) = 1 w(1, 1) = w(1, -1) = 1w(1,1)=w(1,−1)=1，w ( 1 , 0 ) = N x − 1 w(1, 0) = N_x - 1w(1,0)=Nx​−1。

定理 1 的证明在附录 A 中提供。

例如，图 2 描绘了一个N x = 13 , N y = 11 N_x = 13, N_y = 11Nx​=13,Ny​=11的 HHA。显而易见，差分共阵列具有最大中心 URA，其尺寸为( 2 N x − 1 ) ∗ ( 2 N y − 1 ) = 25 ∗ 21 (2N_x - 1) * (2N_y - 1) = 25 * 21(2Nx​−1)∗(2Ny​−1)=25∗21，这与给定相同N x N_xNx​和N y N_yNy​的 OBA 相同。

对于差分冗余，如图 2 所示，两个传感器对( 0 , 1 ) , ( 0 , 0 ) (0, 1), (0, 0)(0,1),(0,0)和( N x − 1 , 1 ) , ( N x − 1 , 0 ) (N_x - 1, 1), (N_x - 1, 0)(Nx​−1,1),(Nx​−1,0)对w ( 0 , 1 ) w(0, 1)w(0,1)有贡献。只有一个传感器对( N x − 1 , 1 ) , ( N x − 2 , 0 ) (N_x - 1, 1), (N_x - 2, 0)(Nx​−1,1),(Nx​−2,0)具有差分( 1 , 1 ) (1, 1)(1,1)。然而，x 轴上的 12 个传感器对，例如( 2 , 0 ) , ( 1 , 0 ) (2, 0), (1, 0)(2,0),(1,0)，对冗余函数w ( 1 , 0 ) w(1, 0)w(1,0)有贡献。与现有的 2D 稀疏阵列 [26] 相比，HHA 可以显著减少由w ( 0 , 1 ) , w ( 1 , 1 ) , w ( 1 , − 1 ) w(0, 1), w(1, 1), w(1, -1)w(0,1),w(1,1),w(1,−1)引起的互耦，同时将 DOF 保持在同一水平。

B. Ladder Array

从定理 1 可以看出，半 H 形阵列可以将w ( 0 , 1 ) w(0, 1)w(0,1)，w ( 1 , − 1 ) w(1, -1)w(1,−1)和w ( 1 , 1 ) w(1, 1)w(1,1)的冗余函数值分别降低到 2，1 和 1。然而，w ( 1 , 0 ) w(1, 0)w(1,0)的值仍然很高。在本小节中，我们提供了一种更好的方案来减少间距( 1 , 0 ) (1, 0)(1,0)处的干扰。

定义 3（梯形阵列，LA）：对于两个正整数N x ≥ 5 , N y ≥ 2 N_x \ge 5, N_y \ge 2Nx​≥5,Ny​≥2，梯形阵列由以下整数集合表征：
S L A = H 0 ∪ H 1 ∪ H 2 ∪ V 11 ∪ V 12 ∪ V 21 ∪ V 22 , (6) \mathbb{S}_{\mathrm{LA}} = \mathbb{H}_0 \cup \mathbb{H}_1 \cup \mathbb{H}_2 \cup \mathbb{V}_{11} \cup \mathbb{V}_{12} \cup \mathbb{V}_{21} \cup \mathbb{V}_{22}, \tag{6}SLA​=H0​∪H1​∪H2​∪V11​∪V12​∪V21​∪V22​,(6)
其中H 0 = { ( 0 , 0 ) , ( N x − 1 , 0 ) } \mathbb{H}_0 = \{(0, 0), (N_x - 1, 0)\}H0​={(0,0),(Nx​−1,0)}，H 1 = { ( n x , 0 ) ∣ n x ∈ h 1 } \mathbb{H}_1 = \{(n_x, 0) \mid n_x \in h_1\}H1​={(nx​,0)∣nx​∈h1​}，H 2 = { ( n x , 1 ) ∣ n x ∈ h 2 } \mathbb{H}_2 = \{(n_x, 1) \mid n_x \in h_2\}H2​={(nx​,1)∣nx​∈h2​}，V 11 = { ( 0 , n y ) ∣ n y ∈ v 11 } \mathbb{V}_{11} = \{(0, n_y) \mid n_y \in v_{11}\}V11​={(0,ny​)∣ny​∈v11​}，V 12 = { ( N x − 1 , − n y ) ∣ n y ∈ v 12 } \mathbb{V}_{12} = \{(N_x - 1, -n_y) \mid n_y \in v_{12}\}V12​={(Nx​−1,−ny​)∣ny​∈v12​}，V 21 = { ( N x − 1 , n y ) ∣ n y ∈ v 21 } \mathbb{V}_{21} = \{(N_x - 1, n_y) \mid n_y \in v_{21}\}V21​={(Nx​−1,ny​)∣ny​∈v21​}以及V 22 = { ( 0 , − n y ) ∣ n y ∈ v 22 } \mathbb{V}_{22} = \{(0, -n_y) \mid n_y \in v_{22}\}V22​={(0,−ny​)∣ny​∈v22​}，且
{ h 1 = { 1 + 2 ℓ ∣ 0 ≤ ℓ ≤ L } ∪ { N x − 2 − 2 ℓ ∣ 0 ≤ ℓ ≤ L } with { L = ( N x − 2 ) / 4 − 1 , if N x − 2 = 4 r , N y is even , L = ( N x − 3 ) / 4 , if N x − 2 = 4 r + 1 , L = ( N x − 4 ) / 4 , if N x − 2 = 4 r + 2 , L = ( N x − 5 ) / 4 , if N x − 2 = 4 r + 3 , h 1 = { 1 + 2 ℓ 1 ∣ 0 ≤ ℓ 1 ≤ ( N x − 2 ) / 4 − 1 } ∪ { N x − 2 − 2 ℓ 1 ∣ 0 ≤ ℓ 1 ≤ ( N x − 2 ) / 4 − 1 } ∪ { 2 ℓ 2 ∣ ℓ 2 = ( N x − 2 ) / 4 } ∪ { N x − 1 − 2 ℓ 2 ∣ ℓ 2 = ( N x − 2 ) / 4 } , if N x − 2 = 4 r , N y is odd . \begin{cases} h_1 = \{1+2\ell \mid 0 \le \ell \le L\} \cup \{N_x - 2 - 2\ell \mid 0 \le \ell \le L\} \\ \quad \text{with } \begin{cases} L = (N_x - 2)/4 - 1, & \text{if } N_x - 2 = 4r, \\ & N_y \text{ is even}, \\ L = (N_x - 3)/4, & \text{if } N_x - 2 = 4r + 1, \\ L = (N_x - 4)/4, & \text{if } N_x - 2 = 4r + 2, \\ L = (N_x - 5)/4, & \text{if } N_x - 2 = 4r + 3, \end{cases} \\ h_1 = \{1+2\ell_1 \mid 0 \le \ell_1 \le (N_x-2)/4-1\} \cup \{N_x - 2 - 2\ell_1 \mid \\ 0 \le \ell_1 \le (N_x-2)/4-1\} \cup \{2\ell_2 \mid \ell_2 = (N_x-2)/4\} \cup \\ \{N_x - 1 - 2\ell_2 \mid \ell_2 = (N_x-2)/4\}, \quad \text{if } N_x - 2 = 4r, \\ \hspace{16em} N_y \text{ is odd}. \end{cases}⎩⎨⎧​h1​={1+2ℓ∣0≤ℓ≤L}∪{Nx​−2−2ℓ∣0≤ℓ≤L}with⎩⎨⎧​L=(Nx​−2)/4−1,L=(Nx​−3)/4,L=(Nx​−4)/4,L=(Nx​−5)/4,​ifNx​−2=4r,Ny​is even,ifNx​−2=4r+1,ifNx​−2=4r+2,ifNx​−2=4r+3,​h1​={1+2ℓ1​∣0≤ℓ1​≤(Nx​−2)/4−1}∪{Nx​−2−2ℓ1​∣0≤ℓ1​≤(Nx​−2)/4−1}∪{2ℓ2​∣ℓ2​=(Nx​−2)/4}∪{Nx​−1−2ℓ2​∣ℓ2​=(Nx​−2)/4},ifNx​−2=4r,Ny​is odd.​
{ h 2 = { 2 ℓ ∣ 1 ≤ ℓ ≤ L } ∪ { N x − 1 − 2 ℓ ∣ 1 ≤ ℓ ≤ L } with { L = ( N x − 2 ) / 4 , if N x − 2 = 4 r , N y is even , L = ( N x − 2 ) / 4 − 1 , if N x − 2 = 4 r , N y is odd , L = ( N x − 3 ) / 4 , if N x − 2 = 4 r + 1 , L = ( N x − 4 ) / 4 , if N x − 2 = 4 r + 2 , L = ( N x − 5 ) / 4 + 1 , if N x − 2 = 4 r + 3. \begin{cases} h_2 = \{2\ell \mid 1 \le \ell \le L\} \cup \{N_x - 1 - 2\ell \mid 1 \le \ell \le L\} \\ \quad \text{with } \begin{cases} L = (N_x - 2)/4, & \text{if } N_x - 2 = 4r, \\ & N_y \text{ is even}, \\ L = (N_x - 2)/4 - 1, & \text{if } N_x - 2 = 4r, \\ & N_y \text{ is odd}, \\ L = (N_x - 3)/4, & \text{if } N_x - 2 = 4r + 1, \\ L = (N_x - 4)/4, & \text{if } N_x - 2 = 4r + 2, \\ L = (N_x - 5)/4 + 1, & \text{if } N_x - 2 = 4r + 3. \end{cases} \end{cases}⎩⎨⎧​h2​={2ℓ∣1≤ℓ≤L}∪{Nx​−1−2ℓ∣1≤ℓ≤L}with⎩⎨⎧​L=(Nx​−2)/4,L=(Nx​−2)/4−1,L=(Nx​−3)/4,L=(Nx​−4)/4,L=(Nx​−5)/4+1,​ifNx​−2=4r,Ny​is even,ifNx​−2=4r,Ny​is odd,ifNx​−2=4r+1,ifNx​−2=4r+2,ifNx​−2=4r+3.​​
{ v 11 = v 21 = { N y − ( 2 ℓ + 1 ) ∣ 0 ≤ ℓ ≤ ⌊ ( N y − 2 ) / 2 ⌋ } , v 12 = v 22 = { N y − ( 2 ℓ + 2 ) ∣ 0 ≤ ℓ ≤ ⌊ ( N y − 3 ) / 2 ⌋ } . \begin{cases} v_{11} = v_{21} = \{N_y - (2\ell + 1) \mid 0 \le \ell \le \lfloor (N_y - 2)/2 \rfloor\}, \\ v_{12} = v_{22} = \{N_y - (2\ell + 2) \mid 0 \le \ell \le \lfloor (N_y - 3)/2 \rfloor\}. \end{cases}{v11​=v21​={Ny​−(2ℓ+1)∣0≤ℓ≤⌊(Ny​−2)/2⌋},v12​=v22​={Ny​−(2ℓ+2)∣0≤ℓ≤⌊(Ny​−3)/2⌋}.​
r rr是正整数；⌊ a ⌋ \lfloor a \rfloor⌊a⌋取小于或等于a aa的最大整数。

图 3 描绘了一个N x = 13 N_x = 13Nx​=13和N y = 11 N_y = 11Ny​=11的 LA 示例。在这种情况下，y 方向的阵元位于V 11 ∪ V 22 = { ( 0 , n y ) ∣ n y = − 9 , − 7 , − 5 , − 3 , − 1 , 2 , 4 , 6 , 8 , 10 } \mathbb{V}_{11} \cup \mathbb{V}_{22} = \{(0, n_y) \mid n_y = -9, -7, -5, -3, -1, 2, 4, 6, 8, 10\}V11​∪V22​={(0,ny​)∣ny​=−9,−7,−5,−3,−1,2,4,6,8,10}以及V 21 ∪ V 12 = { ( 12 , n y ) ∣ n y = − 9 , − 7 , − 5 , − 3 , − 1 , 2 , 4 , 6 , 8 , 10 } \mathbb{V}_{21} \cup \mathbb{V}_{12} = \{(12, n_y) \mid n_y = -9, -7, -5, -3, -1, 2, 4, 6, 8, 10\}V21​∪V12​={(12,ny​)∣ny​=−9,−7,−5,−3,−1,2,4,6,8,10}。

注意，N y − 1 N_y - 1Ny​−1的值必须包含在v 11 v_{11}v11​和v 21 v_{21}v21​中。元素N y − 2 N_y - 2Ny​−2必须在集合v 12 v_{12}v12​和v 22 v_{22}v22​中。如果N y N_yNy​是偶数，x 轴上方的传感器占据奇数位置。同时，下方的部分拥有偶数。否则，结果相反。还可以观察到，水平方向的传感器分为两组h 1 = { 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11 } h_1 = \{1, 3, 5, 7, 9, 11\}h1​={1,3,5,7,9,11}和h 2 = { 2 , 4 , 6 , 8 , 10 } h_2 = \{2, 4, 6, 8, 10\}h2​={2,4,6,8,10}，分别分布在 x 轴和n y = 1 n_y = 1ny​=1线上。这种划分导致间距为( 1 , 0 ) (1, 0)(1,0)的传感器对数量减少到 2。为了具体展示梯形阵列的性质，我们在以下定理中提供了 EDCA 结论和冗余函数的解析表达式。

定理 2：在参数N x , N y N_x, N_yNx​,Ny​固定的情况下，定义 3 中定义的梯形阵列具有与开箱阵列相同的 EDCA（即R L A = R O B A \mathbb{R}_{\mathrm{LA}} = \mathbb{R}_{\mathrm{OBA}}RLA​=ROBA​）。

证明在附录 B 中给出。根据证明，可以获得h i h_ihi​和v i j v_{ij}vij​的以下性质：

1. h 1 ∪ h 2 = { 1 , ⋯ , N x − 2 } h_1 \cup h_2 = \{1, \cdots, N_x - 2\}h1​∪h2​={1,⋯,Nx​−2}；
2. v 11 ∪ v 12 = v 21 ∪ v 22 = { 1 , ⋯ , N y − 1 } v_{11} \cup v_{12} = v_{21} \cup v_{22} = \{1, \cdots, N_y - 1\}v11​∪v12​=v21​∪v22​={1,⋯,Ny​−1}；
3. 所提出的 LA 以直线x = ( N x − 1 ) / 2 x = (N_x - 1)/2x=(Nx​−1)/2为中心对称；
4. 传感器总数为N x + 2 ( N y − 1 ) N_x + 2(N_y - 1)Nx​+2(Ny​−1)。

图 4 展示了N x = 14 , N y = 11 N_x = 14, N_y = 11Nx​=14,Ny​=11的 LA。注意，当N x − 2 = 4 r N_x - 2 = 4rNx​−2=4r且N y N_yNy​为奇数时，数字 6 和 7 存在于h 1 h_1h1​中，但不存在于h 2 h_2h2​中。这种设计保证了可以生成{ ( n x , 0 ) ∣ n x ∈ [ 0 , N x − 1 ] } \{(n_x, 0) \mid n_x \in [0, N_x - 1]\}{(nx​,0)∣nx​∈[0,Nx​−1]}处的所有虚拟传感器。否则，虚拟元素( 6 , 0 ) (6, 0)(6,0)和( 7 , 0 ) (7, 0)(7,0)将在 DCA 中缺失，因为在这种情况下，( 0 , 1 ) (0, 1)(0,1)和( N x − 1 , 1 ) (N_x - 1, 1)(Nx​−1,1)都不在v 11 v_{11}v11​和v 21 v_{21}v21​中。图 4 还展示了如何通过取 LA 中传感器位置的差值来形成范围在{ ( n x , n y ) ∣ n x ∈ [ 1 − N x , N x − 1 ] , n y ∈ [ 1 − N y , N y − 1 ] } \{(n_x, n_y) \mid n_x \in [1 - N_x, N_x - 1], n_y \in [1 - N_y, N_y - 1]\}{(nx​,ny​)∣nx​∈[1−Nx​,Nx​−1],ny​∈[1−Ny​,Ny​−1]}内的虚拟 URA。相应的 DCA 与图 3 中的 HHA 相同。它拥有一个尺寸为25 ∗ 21 25*2125∗21的有效虚拟 URA，这与 OBA 的无孔共阵列相同。因此，它可以检测与 OBA 相同数量的不相关信源，且 DOF 没有减少。

为了说明 LA 在减少互耦方面的优越性，我们提供以下定理。

定理 3：对于由 (6) 定义的参数为N x N_xNx​和N y N_yNy​的梯形阵列，冗余函数可以表示为
{ w ( 0 , 1 ) = 2 , w ( 1 , 0 ) = { 2 , if N x is odd , 3 , if N x − 2 = 4 r + 2 , or N x − 2 = 4 r , N y is even , 5 , if N x − 2 = 4 r , N y is odd w ( 1 , 1 ) = { ( N x − 1 ) / 2 , if N x is odd , ( N x − 2 ) / 2 , if N x − 2 = 4 r + 2 , or N x − 2 = 4 r , N y is even , ( N x − 4 ) / 2 , if N x − 2 = 4 r , N y is odd . \begin{cases} w(0, 1) = 2, \\ w(1, 0) = \begin{cases} 2, & \text{if } N_x \text{ is odd}, \\ 3, & \text{if } N_x - 2 = 4r + 2, \\ & \text{or } N_x - 2 = 4r, \quad N_y \text{ is even}, \\ 5, & \text{if } N_x - 2 = 4r, \quad N_y \text{ is odd} \end{cases} \\ w(1, 1) = \begin{cases} (N_x - 1)/2, & \text{if } N_x \text{ is odd}, \\ (N_x - 2)/2, & \text{if } N_x - 2 = 4r + 2, \\ & \text{or } N_x - 2 = 4r, \quad N_y \text{ is even}, \\ (N_x - 4)/2, & \text{if } N_x - 2 = 4r, \quad N_y \text{ is odd}. \end{cases} \end{cases}⎩⎨⎧​w(0,1)=2,w(1,0)=⎩⎨⎧​2,3,5,​ifNx​is odd,ifNx​−2=4r+2,orNx​−2=4r,Ny​is even,ifNx​−2=4r,Ny​is odd​w(1,1)=⎩⎨⎧​(Nx​−1)/2,(Nx​−2)/2,(Nx​−4)/2,​ifNx​is odd,ifNx​−2=4r+2,orNx​−2=4r,Ny​is even,ifNx​−2=4r,Ny​is odd.​​

证明在附录 C 中提供。

如上所述，稀疏阵列 LA 以直线n x = ( N x − 1 ) / 2 n_x = (N_x - 1)/2nx​=(Nx​−1)/2为中心对称。因此，w ( − 1 , 1 ) w(-1, 1)w(−1,1)具有与w ( 1 , 1 ) w(1, 1)w(1,1)相同的结果。类似地，w ( 1 , − 1 ) w(1, -1)w(1,−1)和w ( − 1 , − 1 ) w(-1, -1)w(−1,−1)可以分别通过反转对( − 1 , 1 ) (-1, 1)(−1,1)和( 1 , 1 ) (1, 1)(1,1)有贡献的传感器对的差值来获得。注意，无论N x , N y N_x, N_yNx​,Ny​的值如何，LA 的冗余函数w ( 0 , 1 ) w(0, 1)w(0,1)都可以低至 2（如图 4 所示）。然而，w ( 1 , 0 ) w(1, 0)w(1,0)有不同的结果。在所有可能性中，N x − 2 = 4 r N_x - 2 = 4rNx​−2=4r且N y N_yNy​为奇数的情况导致最高值。这是因为几个具有单位间距的物理传感器分布在 x 轴上，这在H 1 \mathbb{H}_1H1​中产生了一个短的密集段。而函数w ( 1 , 1 ) w(1, 1)w(1,1)在这种情况下获得最小值。正是h 2 h_2h2​中较少的传感器数量减少了对w ( 1 , 1 ) w(1, 1)w(1,1)有贡献的传感器对。

IV. NUMERICAL EXPERIMENTS