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目录

• 1. 二叉搜索树的概念
• 2. 二叉搜索树的性能分析
• 3. 二叉搜索树的插入
• 4. 二叉搜索树的查找
• 5. 二叉搜索树的删除
• 6. 二叉搜索树的实现代码
• 7. 二叉搜索树 key 和 key/value 使用场景
  • 7.1 key 搜索场景
  • 7.2 key/value 搜索场景
  • 7.3 key/value 二叉搜索树代码实现

1. 二叉搜索树的概念

二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树：

• 若它的左子树不为空，则左子树上所有结点的值都小于等于根结点的值。
• 若它的右子树不为空，则右子树上所有结点的值都大于等于根结点的值。
• 它的左右子树也分别为二叉搜索树。
• 二叉搜索树中可以支持插入相等的值，也可以不支持插入相等的值，具体看使用场景定义。后续学习的map、set、multimap、multiset系列容器底层就是二叉搜索树，其中map/set不支持插入相等值，multimap/multiset支持插入相等值。

2. 二叉搜索树的性能分析

最优情况下，二叉搜索树为完全二叉树（或者接近完全二叉树），其高度为：log_2(N)。

最差情况下，二叉搜索树退化为单支树（或者类似单支），其高度为：N NN。

所以综合而言，二叉搜索树增删查改时间复杂度为：O ( N ) O(N)O(N)。

那么这样的效率显然是无法满足我们需求的，我们后续课程需要继续讲解二叉搜索树的变形，平衡二叉搜索树 AVL 树和红黑树，才能适用于我们在内存中存储和搜索数据。

另外需要说明的是，二分查找也可以实现O ( log ⁡ 2 N ) O(\log_2 N)O(log2​N)级别的查找效率，但是二分查找有两大缺陷：

1. 需要存储在支持下标随机访问的结构中，并且有序。
2. 插入和删除数据效率很低，因为存储在下标随机访问的结构中，插入和删除数据一般需要挪动数据。

这里也就体现出了平衡二叉搜索树的价值。

3. 二叉搜索树的插入

插入的具体过程如下：

1. 树为空，则直接新增结点，赋值给root指针。
2. 树不空，按二叉搜索树性质，插入值比当前结点大往右走，插入值比当前结点小往左走，找到空位置，插入新结点。
3. 如果支持插入相等的值，插入值跟当前结点相等的值可以往右走，也可以往左走，找到空位置，插入新结点。（要注意的是要保持逻辑一致性，插入相等的值不要一会往右走，一会往左走。）

inta[]={8,3,1,10,6,4,7,14,13};

4. 二叉搜索树的查找

1. 从根开始比较，查找x。x比根的值大则往右边走查找，x比根值小则往左边走查找。
2. 最多查找高度次，走到空还没找到，这个值不存在。
3. 如果不支持插入相等的值，找到x即可返回。
4. 如果支持插入相等的值，意味着有多个x存在，一般要求查找中序的第一个x。如下图，查找3，要找到1的右孩子的那个3返回。

5. 二叉搜索树的删除

首先查找元素是否在二叉搜索树中，如果不存在，则返回false。

如果查找元素存在则分以下四种情况分别处理：（假设要删除的结点为N）

1. 要删除结点N左右孩子均为空。
2. 要删除的结点N左孩子为空，右孩子结点不为空。
3. 要删除的结点N右孩子为空，左孩子结点不为空。
4. 要删除的结点N左右孩子结点均不为空。

对应以上四种情况的解决方案：

1. 把N结点的父亲对应孩子指针指向空，直接删除N结点（情况 1 可以当成情况 2 或者情况 3 处理，效果是一样的）。
2. 把N结点的父亲对应孩子指针指向N的右孩子，直接删除N结点。
3. 把N结点的父亲对应孩子指针指向N的左孩子，直接删除N结点。
4. 无法直接删除N结点，因为N的两个孩子无处安放，只能用替换法删除。找N左子树的值最大结点R（最右结点）或者N右子树的值最小结点R（最左结点）替代N，因为这两个结点中任意一个放到N的位置，都满足二叉搜索树的规则。替代N的意思就是N和R两个结点的值交换，转而变成删除R结点，R结点符合情况 2 或情况 3，可以直接删除。

6. 二叉搜索树的实现代码

template<classK>structBSTNode{K _key;BSTNode<K>*_left;BSTNode<K>*_right;BSTNode(constK&key):_key(key),_left(nullptr),_right(nullptr){}};// Binary Search Treetemplate<classK>classBSTree{typedefBSTNode<K>Node;public:boolInsert(constK&key){if(_root==nullptr){_root=newNode(key);returntrue;}Node*parent=nullptr;Node*cur=_root;while(cur){if(cur->_key<key){parent=cur;cur=cur->_right;}elseif(cur->_key>key){parent=cur;cur=cur->_left;}else{returnfalse;}}cur=newNode(key);if(parent->_key<key){parent->_right=cur;}else{parent->_left=cur;}returntrue;}boolFind(constK&key){Node*cur=_root;while(cur){if(cur->_key<key){cur=cur->_right;}elseif(cur->_key>key){cur=cur->_left;}else{returntrue;}}returnfalse;}boolErase(constK&key){Node*parent=nullptr;Node*cur=_root;while(cur){if(cur->_key<key){parent=cur;cur=cur->_right;}elseif(cur->_key>key){parent=cur;cur=cur->_left;}else{// 0-1个孩子的情况// 删除情况1、2、3均可以直接删除，改变父亲对应孩子指针指向即可if(cur->_left==nullptr){if(parent==nullptr){_root=cur->_right;}else{if(parent->_left==cur)parent->_left=cur->_right;elseparent->_right=cur->_right;}deletecur;returntrue;}elseif(cur->_right==nullptr){if(parent==nullptr){_root=cur->_left;}else{if(parent->_left==cur)parent->_left=cur->_left;elseparent->_right=cur->_left;}deletecur;returntrue;}else{// 2个孩子的情况// 删除情况4，替换法删除// 假设这里我们取右子树的最小结点作为替代结点去删除// 这里尤其要注意右子树的根就是最小结点时的处理，对应课件图中删除8的情况// 一定要把cur给rightMinP，否则会报错。Node*rightMinP=cur;Node*rightMin=cur->_right;while(rightMin->_left){rightMinP=rightMin;rightMin=rightMin->_left;}cur->_key=rightMin->_key;if(rightMinP->_left==rightMin)rightMinP->_left=rightMin->_right;elserightMinP->_right=rightMin->_right;deleterightMin;returntrue;}}}returnfalse;}voidInOrder(){_InOrder(_root);cout<<endl;}private:void_InOrder(Node*root){if(root==nullptr){return;}_InOrder(root->_left);cout<<root->_key<<" ";_InOrder(root->_right);}private:Node*_root=nullptr;};

7. 二叉搜索树 key 和 key/value 使用场景

7.1 key 搜索场景

只有key作为关键码，结构中只需要存储key即可，关键码即为需要搜索到的值，搜索场景只需要判断key在不在。key的搜索场景实现的二叉树搜索树支持增删查，但是不支持修改，修改key破坏搜索树结构了。

场景 1：小区无人值守车库，小区车库买了车位的业主车才能进小区，那么物业会把买了车位的业主的车牌号录入后台系统，车辆进入时扫描车牌在不在系统中，在则抬杆，不在则提示非本小区车辆，无法进入。

场景 2：检查一篇英文文章单词拼写是否正确，将词库中所有单词放入二叉搜索树，读取文章中的单词，查找是否在二叉搜索树中，不在则波浪线标红提示。

7.2 key/value 搜索场景

每一个关键码key，都有与之对应的值value，value可以任意类型对象。树的结构中（结点）除了需要存储key还要存储对应的value，增/删/查还是以key为关键字走二叉搜索树的规则进行比较，可以快速查找到key对应的value。key/value的搜索场景实现的二叉树搜索树支持修改，但是不支持修改key，修改key破坏搜索树性质了，可以修改value。

场景 1：简单中英互译字典，树的结构中（结点）存储key（英文）和value（中文），搜索时输入英文，则同时查找到了英文对应的中文。

场景 2：商场无人值守车库，入口进场时扫描车牌，记录车牌和入场时间，出口离场时，扫描车牌，查找入场时间，用当前时间 - 入场时间计算出停车时长，计算出停车费用，缴费后抬杆，车辆离场。

场景 3：统计一篇文章中单词出现的次数，读取一个单词，查找单词是否存在，不存在这个说明第一次出现，（单词，1），单词存在，则++单词对应的次数。

7.3 key/value 二叉搜索树代码实现

template<classK,classV>structBSTNode{// pair<K, V> _kv;K _key;V _value;BSTNode<K,V>*_left;BSTNode<K,V>*_right;BSTNode(constK&key,constV&value):_key(key),_value(value),_left(nullptr),_right(nullptr){}};template<classK,classV>classBSTree{typedefBSTNode<K,V>Node;public:BSTree()=default;BSTree(constBSTree<K,V>&t){_root=Copy(t._root);}BSTree<K,V>&operator=(BSTree<K,V>t){swap(_root,t._root);return*this;}~BSTree(){Destroy(_root);_root=nullptr;}boolInsert(constK&key,constV&value){if(_root==nullptr){_root=newNode(key,value);returntrue;}Node*parent=nullptr;Node*cur=_root;while(cur){if(cur->_key<key){parent=cur;cur=cur->_right;}elseif(cur->_key>key){parent=cur;cur=cur->_left;}else{returnfalse;}}cur=newNode(key,value);if(parent->_key<key){parent->_right=cur;}else{parent->_left=cur;}returntrue;}Node*Find(constK&key){Node*cur=_root;while(cur){if(cur->_key<key){cur=cur->_right;}elseif(cur->_key>key){cur=cur->_left;}else{returncur;}}returnnullptr;}boolErase(constK&key){Node*parent=nullptr;Node*cur=_root;while(cur){if(cur->_key<key){parent=cur;cur=cur->_right;}elseif(cur->_key>key){parent=cur;cur=cur->_left;}else{if(cur->_left==nullptr){if(parent==nullptr){_root=cur->_right;}else{if(parent->_left==cur)parent->_left=cur->_right;elseparent->_right=cur->_right;}deletecur;returntrue;}elseif(cur->_right==nullptr){if(parent==nullptr){_root=cur->_left;}else{if(parent->_left==cur)parent->_left=cur->_left;elseparent->_right=cur->_left;}deletecur;returntrue;}else{Node*rightMinP=cur;Node*rightMin=cur->_right;while(rightMin->_left){rightMinP=rightMin;rightMin=rightMin->_left;}cur->_key=rightMin->_key;if(rightMinP->_left==rightMin)rightMinP->_left=rightMin->_right;elserightMinP->_right=rightMin->_right;deleterightMin;returntrue;}}}returnfalse;}voidInOrder(){_InOrder(_root);cout<<endl;}private:void_InOrder(Node*root){if(root==nullptr){return;}_InOrder(root->_left);cout<<root->_key<<":"<<root->_value<<endl;_InOrder(root->_right);}voidDestroy(Node*root){if(root==nullptr)return;Destroy(root->_left);Destroy(root->_right);deleteroot;}Node*Copy(Node*root){if(root==nullptr)returnnullptr;Node*newRoot=newNode(root->_key,root->_value);newRoot->_left=Copy(root->_left);newRoot->_right=Copy(root->_right);returnnewRoot;}private:Node*_root=nullptr;};

字典示例：

intmain(){BSTree<string,string>dict;//BSTree<string, string> copy = dict;dict.Insert("left","左边");dict.Insert("right","右边");dict.Insert("insert","插入");dict.Insert("string","字符串");string str;while(cin>>str){autoret=dict.Find(str);if(ret){cout<<"->"<<ret->_value<<endl;}else{cout<<"无此单词，请重新输入"<<endl;}}return0;}

统计单词出现次数示例：

intmain(){string arr[]={"苹果","西瓜","苹果","西瓜","苹果","苹果","西瓜","苹果","香蕉","苹果","香蕉"};BSTree<string,int>countTree;for(constauto&str:arr){// 先查找水果在不在搜索树中// 1、不在，说明水果第一次出现，则插入<水果，1>// 2、在，则查找到的结点中水果对应的次数++//BSTreeNode<string, int>* ret = countTree.Find(str);autoret=countTree.Find(str);if(ret==NULL){countTree.Insert(str,1);}else{ret->_value++;}}countTree.InOrder();return0;}