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线性代数

四个数字，为什么能够描述整个平面的变化？

现在给大家一个矩阵：

这四个数字到底在描述什么？如果我们只记住“第一行乘输入向量，得到第一个分量”，当然也能算出结果。但这样一来，矩阵为什么这么乘、结果对应怎样的空间变化，就很容易变成需要另外记忆的内容。

这一篇，我们换个观察顺序：先看空间怎样变化，再看两个基向量去了哪里，最后把这些信息写成矩阵。理解了这个过程，矩阵向量乘法就能和上一篇的线性组合联系起来。

本篇重点讨论的概念，就是线性变换与它的矩阵表示。

文中的代码、配图和计算说明为配套补充。当前主要讨论实数二维向量之间的变换，输入和输出都使用固定的标准坐标系。

变换，就是把一个向量对应到另一个向量

先把它看成一个函数

我们先不考虑矩阵。一个变换，本质上就是一个函数：给它一个输入，它按照确定的规则返回一个输出。

在当前讨论中，输入和输出都是向量。我们把变换记为，写成：

这里的表示所有实数二维向量组成的空间。表示向量经过这个变换以后得到的结果。

比如一个向量原来指向，经过变换以后指向，我们可以把它想成：这个向量的终点，从原来的位置移动到了新的位置。

不过，一个输入向量的去向，并不能说明整个变换。我们还要知道，同一套规则作用到其他向量时，会发生什么。

为什么课程里要画一整张网格？

如果把所有向量都画成从原点出发的箭头，画面很快就会挤满。所以这里继续使用上一篇的方法：用箭头的终点来代表向量。

接下来，选取一组水平、竖直的网格线，让上面的每一个点都按照同一规则移动。这样就能够观察到，整个空间是在旋转、拉伸、剪切，还是发生了更复杂的弯曲。

后面的配图会保留淡色的原始网格，再用彩色网格表示变换后的结果。背景坐标轴用于读取位置，彩色网格则记录原来那些点去了哪里。网格只画出有限范围，真正的变换规则作用于整个平面。

什么样的变换，才是线性变换？

先建立图像，再补上正式条件

从几何上观察，线性变换保持原点不动；一条直线经过变换以后，不会弯成曲线。同一族平行、等距的网格线，变换后仍呈现规则的平行、等距结构，发生压缩退化时则可能重合。

这里的“等距”不是指长度保持不变，而是说原来等间隔排列的点或网格，经过变换后，仍按照一致的步长排列。线性变换可以改变长度，也可以改变夹角。

这些图像帮助我们识别现象。真正用来计算和推导的定义，是下面两条：

它们要求对所有输入向量和所有实数都成立。第一条表示保持向量加法，第二条表示保持数乘。正式定义可以对照教材 Interactive Linear Algebra：Linear Transformations 阅读。

把两条规则放在一起，就得到本篇最重要的关系：

先线性组合，再做变换；或者先分别变换，再使用原来的系数组合，结果相同。后面为什么只需要追踪基向量，就是由这条关系决定的。

原点不动，是必要条件，还不是全部条件

令数乘系数为零，就能得到。因此，线性变换一定把零向量映射到零向量。

如果把整个平面向右平移、向上平移，原点就到了。这种变换虽然让直线保持平直，但它不满足当前向量空间中的线性变换定义。

这个平移可以写成：

还有一种情况，原点没有移动，变换却仍然不线性。比如：

原点确实还在原点，但水平直线会弯曲。取，就能直接检查出：，而，数乘关系不成立。

图中左边的剪切是线性变换；中间的平移、右边的弯曲都不是。检查时，既要观察原点，也要观察整条直线和间隔，不能只挑几个看起来没有问题的位置。

还有一个边界需要补充：线性变换允许把直线压缩成一个点。比如把所有二维向量都变成零向量，完全符合加法和数乘规则。因此，“直线保持平直”的图像，也需要包含这种退化情况。

只记录两个基向量，为什么就够了？

任意向量，先写成标准基的线性组合

前面在《线性组合·张成的空间与基》中，我们已经知道：

它们构成二维空间的标准基。任意向量都可以写成：

现在对它做线性变换，按照前面的规则：

大家重点看这里：两个系数没有改变，改变的是它们所缩放的向量。原来缩放​，现在缩放。

因此，只要知道两个标准基向量的像，也就是它们变换后的结果，就能够算出任意输入向量的像。

这里有一个前提：我们已经知道是线性变换。如果只是随意给出两个输入点的输出，而没有线性条件，就不能推断其他点的去向。

完整算一遍

假设两个基向量分别变到了：

我们想知道经过变换后会到哪里。先把输入写成​，再保持这组组合系数：

图中绿色、黄色箭头分别对应两个标准基向量及其变换结果，蓝色箭头对应输入向量与输出向量。虚线标出了使用相同系数、先缩放再相加的路径。

我们并不需要先观察所有网格点的运动，再去读取蓝色箭头的终点。知道两根基向量的去向，按照原系数组合，就已经确定了答案。

矩阵的两列，就是两个基向量变换后的坐标

把前面的信息，按列放在一起

我们把放在第一列，把放在第二列，就得到：

这就是开头的矩阵。第一列告诉我们变到了；第二列告诉我们变到了。

注意这里读取的是列。第一行表示两个输入分量怎样共同贡献到输出的第一个分量，它不是第一个基向量的像。

更一般地，如果：

那么矩阵向量乘法就是：

按行计算输出分量，按列理解基向量的去向。两种看法得到的是同一个乘法规则，不需要把它们分开记成两套知识。

对于当前例子，任意输入都会变成。四个数字之所以足够，是因为二维输入只有两个标准基向量，而每个像又需要两个坐标描述。

使用 Python 构造矩阵，再计算结果

接下来，我们把这个变换交给计算机。新建transformations_demo.py，如果还没有 NumPy，先安装：

python3 -m pip install numpy

首先，创建两个基向量的像，再按列组成矩阵：

import numpy as np e1 = np.array([1.0, 0.0]) e2 = np.array([0.0, 1.0]) image_e1 = np.array([1.0, -2.0]) image_e2 = np.array([3.0, 0.0]) A = np.column_stack((image_e1, image_e2)) vector = np.array([-1.0, 2.0]) result = A @ vector print("变换矩阵：") print(A) print("输入向量：", vector) print("输出向量：", result)

输出结果：

变换矩阵： [[ 1. 3.] [-2. 0.]] 输入向量： [-1. 2.] 输出向量： [5. 2.]

这里np.column_stack()把两个一维数组分别作为矩阵的列，接口说明见 NumPy 官方文档。如果直接写np.array([image_e1, image_e2])，这两个数组会放在行里，得到的就不是当前需要的排列。

用基向量和线性组合，再核对一次

接下来，我们直接检查矩阵作用于标准基向量的结果，再手动按列组合：

by_columns = vector[0] * A[:, 0] + vector[1] * A[:, 1] print("第一个基向量的像：", A @ e1) print("第二个基向量的像：", A @ e2) print("按列线性组合的结果：", by_columns) print("两种计算是否一致：", np.allclose(result, by_columns))

输出结果：

第一个基向量的像： [ 1. -2.] 第二个基向量的像： [3. 0.] 按列线性组合的结果： [5. 2.] 两种计算是否一致： True

A[:, 0]取第一列，A[:, 1]取第二列。乘以会选出第一列，乘以​ 会选出第二列，这也从数值上解释了矩阵列的含义。

教材中将这些像按列组成的矩阵称为变换的标准矩阵，相关定理见 The Matrix of a Linear Transformation。

在 NumPy 里，矩阵向量乘法使用 @

代码里还有一个容易混淆的符号。对于当前使用的ndarray，A @ vector是矩阵向量乘法；A * vector则会按照广播规则执行逐元素乘法。

我们继续运行：

print("使用 @：", A @ vector) print("使用 *：") print(A * vector) print("@ 的结果形状：", (A @ vector).shape) print("* 的结果形状：", (A * vector).shape)

输出结果：

使用 @： [5. 2.] 使用 *： [[-1. 6.] [ 2. 0.]] @ 的结果形状： (2,) * 的结果形状： (2, 2)

可以看到，*的结果仍然保留了二维数组结构，并没有把各列相加，因此不是我们要的输出向量。按照 NumPy matmul 官方文档，@对应矩阵乘法的语义，当前也可以写成np.matmul(A, vector)。

先确认数学上要做什么，再确认程序中的运算符是否表达了这件事。代码能够运行，并不等于已经实现了想要的变换。

看两个基向量，就能写出旋转与剪切矩阵

绕原点，逆时针旋转 90°

接下来，我们练习从几何过程反推出矩阵。先让整个平面绕原点逆时针旋转。

原来向右的​，旋转后指向上方；原来向上的​，旋转后指向左方。所以：

按照“第一个像放第一列，第二个像放第二列”，直接得到：

这一次，我们没有先记忆旋转矩阵的形式，而是先观察基向量，再把坐标填进对应的列。

水平剪切：高度不变，水平方向随高度偏移

再看一个叫作剪切的线性变换。让​ 保持不变，让​ 从移动到，那么矩阵就是：

从公式看，竖直分量没有改变，水平方向则增加了。越往上，向右偏移越多；如果为负，就向左偏移。原点仍然不动。

旋转保持长度和夹角，当前的剪切会改变某些长度与夹角，但它们都保持加法和数乘，所以都是线性变换。

我们使用同一个向量，对照两种结果：

R = np.array([[0.0, -1.0], [1.0, 0.0]]) S = np.array([[1.0, 1.0], [0.0, 1.0]]) sample = np.array([2.0, 3.0]) print("原向量：", sample) print("逆时针旋转 90°：", R @ sample) print("水平剪切：", S @ sample)

输出结果：

原向量： [2. 3.] 逆时针旋转 90°： [-3. 2.] 水平剪切： [5. 3.]

现在大家可以对照图像解释数字：旋转后，原来的高度对应向左的位移，原来的水平位移对应新的高度；剪切后，高度仍然是，水平方向从变成。

如果两列线性相关，整个平面会被压到哪里？

矩阵的列，不一定还能构成一组基

前面我们一直说矩阵的列是“基向量变换后的像”，这里的说法需要保留完整。输入的标准基向量线性无关，并不保证它们的像仍然线性无关。

例如考虑：

第一列是，第二列是它的两倍。对任意输入向量：

结果永远落在直线上。虽然输入遍布整个二维平面，输出却只能填满一条过原点的直线。这些像无法构成二维空间的一组基。

如果矩阵的两列都是零向量，结果就连一条直线也无法填满，只能落在原点。

图中用有限采样点说明压缩效果。真正的输出范围，分别是整个平面、整条直线，以及只有原点的集合。

这正好对应上一篇的张成空间：矩阵所有可能的输出，就是矩阵各列张成的空间。两列线性无关时可以覆盖二维平面；共线且不全为零时只能覆盖直线；两列全零时只能得到零向量。

不同输入，可能得到相同输出

这样的压缩会带来什么？我们可以检查两个不同的输入：

非零向量和零向量，都变到了原点。只看输出，就无法唯一恢复原来的输入。后面学习逆矩阵和零空间时，我们还会回到这个现象。

先用代码观察结果：

C = np.array([[1.0, 2.0], [1.0, 2.0]]) zero_matrix = np.zeros((2, 2)) hidden = np.array([-2.0, 1.0]) print("原输入经过压缩：", C @ vector) print("非零向量经过压缩：", C @ hidden) print("零向量经过压缩：", C @ np.zeros(2)) print("零矩阵的输出：", zero_matrix @ vector) print("C 的秩：", np.linalg.matrix_rank(C)) print("零矩阵的秩：", np.linalg.matrix_rank(zero_matrix))

输出结果：

原输入经过压缩： [3. 3.] 非零向量经过压缩： [0. 0.] 零向量经过压缩： [0. 0.] 零矩阵的输出： [0. 0.] C 的秩： 1 零矩阵的秩： 0

这里继续使用上一篇借用过的秩：它记录列向量张成空间的维数。C的输出只覆盖一维直线，秩为；零矩阵只输出零向量，秩为。对于浮点数组，接口根据奇异值和容差判断数值秩，具体见 NumPy matrix_rank 文档。

把一整个图形，交给同一个矩阵

将多个输入向量，分别放在不同列

到这里，我们已经能够计算单个向量的去向。实际编写图形程序时，往往需要让多个顶点同时变换。

比如一个三角形，三个顶点分别为、、。把每个顶点的坐标放成一列，就得到：

对它计算，就是把同一个变换分别作用到这三列上。这里先把矩阵看成多个列向量的集合，下一篇再详细讨论矩阵乘法与变换复合。

points = np.array([[0.0, 1.0, 0.0], [0.0, 0.0, 1.0]]) transformed_points = A @ points print("原顶点，每列一个：") print(points) print("变换后的顶点：") print(transformed_points) print("输出形状：", transformed_points.shape)

输出结果：

原顶点，每列一个： [[0. 1. 0.] [0. 0. 1.]] 变换后的顶点： [[ 0. 1. 3.] [ 0. -2. 0.]] 输出形状： (2, 3)

这意味着原点仍是原点，另外两个顶点分别变成和。它们恰好就是的第一列和第二列。

对于线段上的点，线性变换也保持相同的线性组合关系，因此原来的三条边会对应到新图形的三条边。这是顶点计算能够和整个图形的变化对应起来的原因。

当前points的形状是(2, 3)，约定每列是一个二维输入。实际使用其他数据文件时，要先确认顶点按行存储还是按列存储，不能只因为数组里有相同的数字，就直接套用同一乘法顺序。

空间发生变换，与换一组坐标描述，要区分开

大家可能会发现，上一篇我们也把两个基向量放进矩阵，然后与坐标相乘。它们的计算形式很相似，但需要看清当前矩阵的含义。

上一篇的，是在用新基下的系数，重建同一个几何向量的标准坐标。当前的，则是把输入向量实际映射成另一个向量；输入和输出都用固定的标准坐标表示。

所以，“原来的组合系数保持不变”，说的是中的。它不表示输出的标准坐标仍然是。本篇的例子中，标准坐标已经从变成了。

看到一个矩阵，先读出两根箭头的去向

现在我们再看到一个二维变换矩阵，就可以先读第一列和第二列，画出两个标准基向量的像。然后用输入向量的两个分量作为系数，分别缩放这两根箭头，再相加。

大家可以先做三个练习：

1. 给定矩阵，两个标准基向量分别变到了哪里？输入又会变到哪里？
2. 变换是不是线性变换？能否通过检查原点，直接作出判断？
3. 对前面的压缩矩阵，除了零向量，再找一个被映射到原点的向量。这样的非零输入只有一个吗？

第一题的两个像分别是和，输入的像为。第二题不是线性变换，因为原点被映射到。第三题可以取的任意非零倍数，它们都会变成零向量。

下一篇，我们继续学习矩阵乘法与变换复合：先做一次变换，再做另一次变换，怎样合并成一个矩阵？

参考资料与配套内容

• 上一篇：线性代数 [ 线性组合·张成的空间与基 ]。
• 向量基础：线性代数 [ 向量究竟是什么 ]。
• 正式定义与矩阵表示：Interactive Linear Algebra：Linear Transformations。
• 代码接口：NumPy matmul、column_stack、matrix_rank。