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简介：面向自动化、电气等专业本科生及考研复习者整理的《自动控制原理》课后习题答案PDF，可用于课后练习核对、章节重点难点梳理与考前查漏补缺。资源包共1个PDF文件，大小约1.74MB，文档共52页，适合在电脑或平板上按章节检索阅读。内容围绕绪论、控制系统数学模型、时域分析法、根轨迹法、频域分析法、综合与校正、非线性控制系统展开，对微分方程建模、动态结构图等效变换、梅逊公式、二阶系统动态性能指标、劳斯判据、稳态误差计算、根轨迹绘制及Nyquist判据等常见难点给出梳理与解答参考。已有270人学习，便于读者对照习题检验理解、定位薄弱环节，并逐步掌握系统建模、分析与校正的基本方法。

1. 52 页答案 PDF 拆开看：课后习题里真正值钱的是中间那几步

课后习题做完对不上答案，是《自动控制原理》这门课最常见的卡点——不是不会算，是算完不知道自己对不对。这份 52 页的习题详解按教材章节组织，从绪论的概念问答一路排到线性离散系统的脉冲传递函数，八章覆盖完整。它的价值不在最后那个传递函数长什么样，而在于把结构图化简、梅逊公式余子式、劳斯表这些平时容易被糊弄过去的中间步骤摊开写了出来。适合正在跟课、准备期末、或者自学补基础的人；如果你已经在做控制器参数整定，拿它查公式定义和典型例题的解法套路也够用。下面按“这份资源怎么用”的顺序拆，重点讲每一步怎么核对、参数在哪、哪里会翻车。

2. 数学模型这一章：微分方程、结构图、梅逊公式三条线的对照用法

第二章是整本书的地基，也是这份答案里信息密度最高的一章。它把时域微分方程、复域传递函数、结构图等效、信号流图四套语言串在一起，读者最容易出的问题不是不会某一种，而是不知道什么时候该切换到哪一种。我的用法是把它当“翻译对照表”看：同一道题，先用微分方程确认物理关系，再用拉氏变换转成代数式，最后用结构图或梅逊公式快速求总传递函数，三条线互相验证。

2.1 微分方程建模：从物理对象到标准形式的三步收敛

自动化专业的学生面对机械、热工、化工对象时普遍卡在第一步，因为不熟悉那些领域的本构建模关系。合格的从业者一般不会硬啃，而是先认对象类型，再套对应的守恒定律。常见对应关系如下：

具体操作分三步，每一步都有可检查的落点：

第一步，定死输入和输出。输入一般取外部驱动量（电压源、外力、阀门开度），输出取你关心的被控量。其余全部划为中间变量，先列清单再动笔。

第二步，按物理定律列方程。方程个数应当等于中间变量个数加一。这一步的检查点是量纲：等号两边必须同量纲，单位不一致说明某个系数漏了或写反了。

第三步，消元并整理成标准形式。把所有含输出的项移到等号左边，按导数阶次从高到低排列，输入项放右边，系数归一化成常数。整理完再检查一次：无源系统的系数应当全为正，阶次应当等于独立储能元件的个数。

以两级 RC 网络为例，消元后得到的形式是：

G(s) = Uc(s)/Ur(s) = 1 / (R1R2C1C2·s² + (R1C1 + R2C2 + R1C2)·s + 1)

这里有个必须说清的点：这个结果不等于两个单级 RC 传递函数直接相乘。直接相乘得到的是 1/((R1C1s+1)(R2C2s+1))，分母少了一个交叉项 R1C2·s。原因是后级网络对前级构成了负载，前级的输出端接了后级的输入阻抗，两级之间存在负载效应。答案里专门用这道题说明“所给网络与两个 RC 网络的串联不等效”，这个结论要记住——凡是级联的两个环节之间存在能量交换，就不能直接乘。

非线性对象的处理是另一条线。可控硅整流器输出电压 Ud = K·U2φ·cosα 对控制角 α 是非线性的，在 α0 附近做小偏差线性化：把函数在 α0 处泰勒展开，只保留一次项，得到增量方程 ΔUd = -K·U2φ·sinα0·Δα。这一步的意义是把非线性系统在工作点附近近似成线性系统，后续所有传递函数方法才有立足点。参数说明：α0 是静态工作点，偏离这个点越远，线性化误差越大；工程上一般要求扰动量不超过工作点值的 5%～10%。

2.2 动态结构图等效变换：目的是解除交叉，不是背公式

结构图化简的教材写法通常只给一般原则，面对交叉回路时新手无从下手。这份答案的处理思路值得学：先把化简目标说清楚——解除反馈回路的交叉，把图整理成层次分明的串并联加单回路结构，然后再动手。

等效变换的规则本身不多，但乘除因子容易记反。整理成表更稳妥：

操作顺序上，我一般按这个流程走：先在图上圈出所有交叉回路，找出交叉点最多的那个比较点或引出点；把它沿某一条支路移出交叉区；每移动一次单独画一张草图，在草图上标注这次乘除的是哪个环节；移动后重新检查是否还有交叉，直到结构退化成“串联—并联—单回路”三种基本形式；最后从内到外逐层化简。

这里的关键判断是“往哪边移”。移动方向不是随便选的，选错了会引入新的交叉。经验法则是：把比较点往靠近输入的方向移，把引出点往靠近输出的方向移，这样跨过的环节少，补偿因子也简单。答案里给出的交叉回路例子，就是把 a 点引出移到 b 点、同时把 c 点比较移到 d 点，两条交叉支路各做一次同类移动，交叉就解除了。

提示：每移动一次就重画一张图，不要在原图上涂改。血泪经验是，原图改到第三遍时，你自己也分不清哪条线是补偿支路了。

2.3 梅逊公式：余子式 Δk 靠“接触”判断，不靠图形直觉

梅逊公式本身只有一行：P = (1/Δ)·Σ Pk·Δk。真正难的是三个量之间的关系，光看文字描述确实理解不了，必须配上回路和前向通道的具体图形。

系统特征式展开成：

Δ = 1 - ΣLa + ΣLbLc - ΣLdLeLf + ...

其中 ΣLa 是所有单个回路增益之和，ΣLbLc 是所有两两互不接触回路增益乘积之和，三三组合依此类推，符号正负交替。

Pk 是第 k 条前向通道的增益，Δk 是把 Δ 里所有与第 k 条前向通道接触的回路删掉之后剩下的部分。

“接触”的定义要卡死：两个回路（或一条前向通道与一个回路）共用至少一个节点，就叫接触；完全不共用任何节点，才叫不接触。图上线条看起来不相交但共用一个节点的，仍算接触。这是最容易判错的地方。

我建议的操作顺序是：先把所有回路列成表，每行写清回路编号、增益、经过的节点集合；再把所有前向通道列成表，同样写节点集合；然后逐条前向通道做集合交集运算，交集为空的就是不接触回路；最后按公式拼装。

以答案中的三前向通道结构为例，整理成表后是这样：

对照表格能直接看出：第一条和第三条与所有回路都接触，余子式就是 1；第二条与回路 4 不接触，余子式里多出一项回路增益。这套流程比在图上用眼睛比划可靠得多，尤其是回路数量超过四个以后。

3. 时域分析与根轨迹：把答案当参数表反查 ωn、ζ 和极点位置

第三章和第四章在教材里是分开的两章，实际做题时是一条链：时域指标由极点位置决定，极点位置由特征参数决定，根轨迹画的就是极点随增益移动的路径。这份答案把二阶系统的特征参数、极点位置、动态性能三者的关系用一张图串起来，这个处理方式可以直接借来做自查。

3.1 二阶系统的四个指标：一条从 ζ、ωn 到 tp、σ% 的换算链

标准二阶系统的闭环特征方程写成 s² + 2ζωn·s + ωn² = 0，一对共轭极点落在 s1,2 = -ζωn ± jωn√(1-ζ²)。从这个式子出发，所有动态性能指标都能推出来：

峰值时间和超调量这两个式子最有规律：tp 只跟极点虚部有关，σ% 只跟阻尼比有关。这意味着调参时可以先定 ζ 满足超调要求，再用 ωn 把响应速度拉到目标区间。

拿答案里反复出现的例子验证一遍。单位反馈系统开环传递函数 G(s) = K/(s(0.1s+1))，闭环传递函数为 K/(0.1s² + s + K)，化成标准形式对比系数：ωn² = 10K，2ζωn = 10。

K = 10 时，ωn = 10，ζ = 0.5，ωd = 8.66，β = 60° = 1.047 rad。代入得 tr = (3.1416 - 1.047)/8.66 ≈ 0.242 s，tp = 3.1416/8.66 ≈ 0.363 s，σ% = e^(-0.5π/0.866) × 100% ≈ 16.3%，ts(5%) = 3/(0.5×10) = 0.6 s。

K = 20 时，ωn = 14.14，ζ ≈ 0.354，ωd ≈ 13.26，tp ≈ 0.237 s，σ% ≈ 30.5%，ts(5%) ≈ 0.6 s。

这组数字可以直接用来判断答案靠不靠谱：如果你手上这份答案给的峰值时间和你自己算的差在 1% 以内，说明系数对应关系没搞错；差一个数量级，八成是把 0.1s+1 里的时间常数当成 T 直接代进一阶公式了。

注意：调节时间用 3/(ζωn) 还是 4/(ζωn)，取决于题目要求 5% 还是 2% 误差带，答案里两种都出现过。抄答案前先看题干有没有写误差带，没写就按教材约定来。

3.2 劳斯判据：首列零和全零行是两道必须过的坎

劳斯判据的常规流程是：写出特征方程并按降幂排列；检查系数是否全部为正（这是必要条件，缺项或变号直接判不稳定）；填劳斯表；数第一列符号改变的次数，改变几次就有几个右半平面极点。

真正卡人的是两个特殊情况。

第一种，某一行第一列元素为 0，但该行不全为 0。这时不能直接下“不稳定”的结论，而要用一个足够小的正数 ε 代替这个 0，继续往下填表，最后令 ε→0+ 判断第一列符号。符号改变次数才是结论，首项为 0 本身不是。

第二种，某一行全部为 0。这说明存在对称于原点的根，通常出现在临界稳定或纯虚根的情况。处理方法是用这一行的上一行构造辅助方程 F(s)，对 s 求导得到新的一行，用这行替换全零行继续计算。辅助方程本身还能解出那对对称根，往往是判断临界增益的关键信息。

这两条在答案里各有对应例题，做题时建议把“是否出现首列零”“是否出现全零行”当成两个必查项写在草稿纸边上，走完整个表再回头确认，比事后补救省时间。

3.3 根轨迹：先算规则表，再画草图，最后用 MATLAB 校验

根轨迹这一章的难点教材自己也承认：零极点在 s 平面的分布对输出响应的影响，以及轨迹的准确画法。答案给出的路子是先用时域分析建立“极点位置影响性能”的直觉，再用根轨迹规则画草图，最后用 MATLAB 画精确图对照。

八条基本规则整理成表：

最后一步用代码校验，两三行就够：

% 根轨迹与临界增益校验 num = [1]; den = [0.1 1 0]; % G(s) = K/(s(0.1s+1)) sys = tf(num, den); figure; rlocus(sys); % 画根轨迹 [k, poles] = rlocfind(sys); % 鼠标点选临界点，返回对应增益和极点

rlocfind返回值里，k是你在图上点中那一点对应的增益，poles是该增益下的闭环极点。把poles和手算的分离点、虚轴交点对一遍，对不上就回去查规则表里哪一条用错了。参数说明：den的系数按 s 的降幂排列，注意常数项为 0 表示有一个积分环节，这会直接影响渐近线条数和实轴段的判断。

4. 频域分析与校正：Nyquist 圈数、稳定裕量和超前滞后补偿怎么核

第五章和第六章是全书最容易“看得懂但算不对”的部分。频域法的概念不直观，校正设计又没有唯一解，答案在这里的作用不是给标准答案，而是给一套可复现的中间流程。

4.1 Nyquist 判据：数的是包围圈数，不是穿越次数

频域分析和时域分析的内在联系，答案里解释得比较清楚：时域用的阶跃、冲激这些典型输入，都能展开成一系列正弦函数，相当于不同幅值、不同频率的正弦同时作用，靠线性系统的叠加原理求输出。所以频域指标能反映时域性能，两种方法不矛盾。

Nyquist 判据的公式是 Z = P + 2N 或 Z = P - 2N，具体用哪个取决于你教材对 N 正负号的定义。这一条必须先跟你手上的教材对齐，不能混用。我一般按这个约定操作：N 取曲线顺时针包围 (-1, j0) 点的净圈数，判据写成 Z = P - 2N，闭环稳定要求 Z = 0，即 N = P/2。

操作步骤：先画出 ω 从 -∞ 到 +∞ 的完整 Nyquist 图（含镜像部分）；再单独标出 (-1, j0) 点；然后从该点向左引一条射线，数曲线由下往上穿过射线的次数和由上往下的次数，两者之差就是净包围圈数；最后代进判据。

容易出错的地方是只画了 ω 从 0 到 +∞ 的半边图就开始数圈。半图配合对称性判断虽然也能做，但遇到曲线穿过负实轴的情况容易把半圈数成整圈。工程上省事的做法是直接用 MATLAB 的nyquist画完整图。

开环频率特性和闭环响应之间的联系，从闭环特征方程 1 + G(s)H(s) = 0 就能看出来，这也是稳定裕量能反映闭环性能的根本原因。

4.2 稳定裕量：γ 和 Kg 的读取口径

相位裕量和增益裕量的定义要卡死口：

工程上常取 γ 在 30° 到 60° 之间，Kg 不低于 6 到 10 dB。γ 太小，阶跃响应超调大、振荡次数多；γ 太大，系统偏保守、响应慢。这个区间不是死规定，是大量调试攒出来的经验带。

用代码一次读出两个裕量：

% 稳定裕量读取 s = tf('s'); G = 10/(s*(0.1*s+1)); [Gm, Pm, Wcg, Wcp] = margin(G); fprintf('增益裕量 %.2f dB, 相位裕量 %.2f deg\n', 20*log10(Gm), Pm); fprintf('相位穿越频率 %.3f rad/s, 截止频率 %.3f rad/s\n', Wcg, Wcp);

margin返回的Gm是绝对值不是 dB，所以要再做一次20*log10。Wcg和Wcp分别是两个穿越频率，画出 Bode 图后可以对照检查读数位置对不对。

4.3 超前与滞后校正：从指标倒推装置参数

校正设计没有唯一解，这是教材自己点明的：期望的 Bode 图形状因系统要求而异，被控对象的 Bode 图是固定的，两者相减得到的校正环节不唯一。答案给的是标准步骤，照着走能保证拿到一个可用解。

串联超前校正的设计顺序：

第一步，由稳态误差要求确定开环增益 K。

第二步，用确定好的 K 画未校正系统的 Bode 图，读出相位裕量 γ0。

第三步，算需要补的相位角 φm = γ目标 - γ0 + 5°～10°。留余量是因为校正后截止频率会右移，实际相位会掉一点。

第四步，由 φm 反解衰减因子 a：a = (1 + sinφm)/(1 - sinφm)。

第五步，确定最大超前角出现的频率 ωm，把它对准校正后的截止频率（一般取未校正幅频曲线在 -10·lg a 处的频率）。

第六步，算时间常数 T = 1/(ωm√a)，零点在 1/T，极点在 1/(aT)。

滞后校正的逻辑反过来：利用高频段的衰减把截止频率往下压，用牺牲带宽换相位裕量。β 由稳态精度和高频增益要求决定，两个转折频率放在截止频率的 1/5 到 1/10 以下，避免在截止频率附近引入额外相位滞后。

用代码验证一次超前校正的效果：

% 串联超前校正前后对比 s = tf('s'); G = 10/(s*(0.1*s+1)); phi_m = 40*pi/180; % 目标补偿相位 a = (1+sin(phi_m))/(1-sin(phi_m)); wm = 8; % 最大超前角频率，取校正后截止频率附近 T = 1/(wm*sqrt(a)); Gc = (a*T*s+1)/(T*s+1); % 超前校正环节 G_open = Gc*G; [~, Pm1] = margin(G); [~, Pm2] = margin(G_open); fprintf('校正前 %.2f deg, 校正后 %.2f deg\n', Pm1, Pm2);

a和T的顺序不能颠倒，a由相位需求定，T由频率位置定，两者共同决定零极点间距。wm的取值是这套流程里唯一需要试的地方，取小了相位补偿不够，取大了高频噪声放大严重。

5. 避坑：抄这份课后习题答案最容易翻车的五个地方

5.1 结构图化简中间步骤对不上

现象：最终传递函数和答案一致，但中间某一步的环节增益怎么算都差一个因子。

原因：答案把“引出点后移”和“比较点前移”合并成一步画，中间乘除的补偿因子省略了，看上去像是凭空多出一个环节。

解决：自己按“一次只移动一个点”重画，每移动一次在旁边用箭头标注这次乘以或除以哪个环节，四张草图并排对照。引出点后移乘所跨环节，比较点后移同样乘所跨环节，前移则除，方向记反是高频错误。

5.2 梅逊公式分母少一项

现象：传递函数分母比答案少一个两回路乘积项，或者分子多一项。

原因：把“不接触回路”理解成图上线条不相交，把共用一个节点的两个回路误判为不接触。

解决：所有回路列成表，写清编号、增益、节点集合；前向通道也列节点集合；用集合交集判断接触关系，交集为空才算不接触。判完之后再回头对一遍 Δ 的符号，两项相乘取正、三项相乘取负。

5.3 扰动作用下的稳态误差算错符号

现象：扰动单独作用时算出的稳态误差和答案差一个负号，或者结果发散。

原因：误差定义 e = r - c 和 e = -c 混用。给定单独作用时 e = r - c；扰动单独作用时给定量 r = 0，误差变成 e = -c。

解决：动笔前先写清“谁单独作用”，再定误差表达式，最后用终值定理 ess = lim(s→0) s·E(s)。顺带记住一个结论：要在扰动作用点之前的前向通道里含积分环节，才能消掉扰动引起的稳态误差，这也是答案在物理概念上反复强调的点。

5.4 劳斯表首列为零直接判不稳定

现象：填表到某一行首项为 0，直接下结论“系统不稳定”，和答案对不上。

原因：首项为 0 不等于符号改变，可能是临界稳定，也可能是需要做替换的中间状态。

解决：分两种情况。该行不全为零，用 ε 替换 0 继续填表，最后令 ε→0+ 看第一列符号；该行全为零，用上一行构造辅助方程并求导，用导数行替换后继续。这两种情况的结论完全不同，混用会直接判错。

5.5 离散系统脉冲传递函数直接相乘

现象：闭环脉冲传递函数写成 G1(z)G2(z)/(1+G1(z)G2(z))，和答案差很远。

原因：没注意采样开关的位置。连续环节 G2(s) 前面的信号是连续信号，不能直接拆成 Z 变换的乘积，只有采样器之间没有其他连续环节时才能直接乘。

解决：先把采样开关的位置画出来，标清每个采样器的输入输出；再按“连续信号段”和“离散信号段”分别写方程；最后整体做 Z 变换。答案里给出的错误示范就是漏掉了连续段这一层，导致 G1(s) 和 G2(s) 被错误地当成串联。

6. 三步校对法：把答案 PDF 变成可自查的公式速查表

答案的正确用法不是对答案，是把每道题拆成“条件—公式—自检点”三段，做成自己的速查表。我的做法固定为三步。

第一步，抄条件。把题干里的每个数字连同单位抄成一张参数表，包括系统类型、开环增益、时间常数、误差带要求。这一步的作用是暴露隐藏条件，比如“单位反馈”“零初始条件”“5% 误差带”这些经常被漏看的前提。

第二步，对公式。按题型查表，把参数代进对应公式，先算中间量再算结果。常见题型的对应关系整理如下：

第三步，代码复核。手算结果用脚本跑一遍，差在 1% 以内算过，差得多就回去找哪一步代错了。

% 扫描增益，观察超调与调节时间的变化趋势 K_range = 1:1:100; sigma = zeros(size(K_range)); ts = zeros(size(K_range)); for i = 1:length(K_range) K = K_range(i); wn = sqrt(10*K); zeta = 5/sqrt(10*K); if zeta < 1 sigma(i) = exp(-zeta*pi/sqrt(1-zeta^2))*100; ts(i) = 3/(zeta*wn); else sigma(i) = 0; ts(i) = 3/wn; end end plot(K_range, sigma, K_range, ts); legend('超调量 %','调节时间 s'); xlabel('开环增益 K');

这段脚本的意义在于把单点计算变成趋势观察。K 增大时超调单调上升、调节时间先降后升，这个非单调关系是调参时最容易被忽略的地方——很多人以为加大增益一定更快，实际过了某个点响应反而拖长，还伴随振荡加剧。zeta < 1的判断是为了避开过阻尼情况下 sqrt 里出现负数的报错，这个分支不能省。

从那以后我每次做校正设计，都强制走一遍“先扫参数看趋势、再定点精算、最后用 margin 复核”的流程，不再单点试凑。参数扫描花的时间比反复改参数少得多，也更清楚边界在哪。希望帮到你。

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