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作者：连小白 (连享会)
邮箱：lianxhcn@163.com

• Title: 从线性模型说起：关于统计建模的一些思考
• Keywords: 统计建模, 线性回归, 条件分布, 分位数回归, 广义线性模型, OLS, GMM, MLE, 贝叶斯推断

提要：线性回归的线性结构体现在参数的组合方式，也可以对应曲线和曲面。本文以住房租金为例，串联条件均值、分位数、方差与条件分布，说明模型设定、OLS/GMM/MLE 估计及统计推断之间的联系，并讨论这些结果如何用于预测、因果解释与经济决策。

学过计量经济学导论、了解基本因果推断和 MLE 以后，我们通常已经掌握不少方法。但面对一个新的分析问题，仍然可能存在一些疑问：应该先设定模型，还是先选择估计方法？为什么有时只设定条件均值，有时又要假定完整分布？线性回归、GLM、MLE 和贝叶斯分析之间，怎样建立联系？

这篇推文面向已有上述基础、希望把分散知识连成整体的读者。我们以线性回归为线索，讨论建模中的三个层次：希望了解结果的什么特征，选择怎样的关系和概率假设，以及怎样利用样本开展估计与推断。

本文希望分享的核心观点是：分析目标应当贯穿模型设定、估计与推断的各项选择。我们可以先确定希望描述结果变量的哪个分布特征，再考虑与之相符的函数形式、概率设定和推断方法。

沿着这条思路，还需要分清模型设定、参数估计与因果识别各自解决的问题。只研究条件均值时，未必需要指定完整分布；若希望把变量之间的条件关系解释为某项干预带来的效果，还需要相应的研究设计和识别假设。OLS 或 MLE 提供的是利用样本估计参数的方法，不能替代这些依据。把这些层次区分清楚，才能判断一个模型提供了什么信息，以及这些信息能够支持什么结论。

以住房租赁为例。同一批住房数据，可以用于预测平均租金、评估低租金风险，也可以用于研究是否配置家具对租金的影响。几个问题都可能用到回归，但关心的对象和所需依据并不相同。

下面以这个例子贯穿讨论。yy 表示住房月租金，单位为元；xx 开头的变量表示面积、房龄等连续变量；DD 开头的变量表示虚拟变量，取 1 表示所述条件成立，取 0 表示不成立；uu 表示扰动项。分析对象暂定为已出租住房的签约月租金，后面再讨论这一选择对结论的限制。

1. 分析目标与建模对象

假设我们掌握一批住房的租金、面积、房龄和配置数据。若想预测某类住房的平均租金，需要描述平均水平与住房特征的关系；若想评估低租金风险，还需要了解平均水平周围的差异；若想判断添置家具是否划算，则要比较配置改变带来的租金变化与添置成本。同一份数据可以服务于不同问题，而这些问题要求模型提供的信息并不相同。

1.1 均值、尾部概率与干预效果

如果机构需要预测某类住房的平均租金，条件均值就是直接相关的对象。如果关心租金低于 4000 元的可能性，就需要相应的条件概率。如果要决定是否配置家具，则还需要了解配置家具这一干预会怎样改变结果。

前两个问题关注给定住房特征后的结果分布，第三个问题还涉及改变住房配置的后果。即使准确知道家具组和无家具组的租金分布，也不一定能据此判断配置家具的效果。

分析目标也决定了所需信息的范围。预测均值不一定需要知道完整分布；计算某个尾部概率，需要对相应部分的分布有足够了解。完整分布包含更多信息，同时通常要求更多设定。

Shmueli (2010) 专门比较了解释性建模与预测性建模从目标定义到模型评价的差异。对于同一份数据，分析目标的变化，可以改变变量选择、模型构造和评价标准。

1.2 条件均值与条件分布

假设给定同一组住房特征，两种候选模型都给出平均租金 5000 元，但条件标准差分别为 500 元和 1000 元。在正态近似下，租金低于 4000 元的概率分别约为 2.3% 和 15.9%。均值相同，并不意味着低租金风险相同。

图 1：同一组住房特征下的两个候选正态分布，共用一组坐标。两者均值都为 5000 元，标准差分别为 500 元和 1000 元；各曲线在 4000 元左侧与横轴之间的面积，分别对应 2.3% 和 15.9% 的低租金概率。

用 ww 统记我们掌握的住房特征，可以把条件均值写为 m(w)=E⁡(y∣w)m(w)=E(y∣w)。在不同面积和房龄处，把这些均值连接起来，就形成回归曲线或曲面。曲面上的每个位置背后，仍然存在一个条件分布，具体住房的租金可以高于或低于该处均值。

为了看清这些分布怎样随面积变化，暂时把其他住房特征固定，只让面积 xx 变化。图 2 在 60、70、80、……、120 平方米处，分别画出一组租金散点及对应的条件密度曲线。

图 2：每个面积取值对应一列租金散点和一条竖向条件密度曲线。密度曲线以相应面积为基线向右展开，横向宽度表示密度大小，不表示面积变化。橙色实线连接条件均值，灰色虚线连接第 10 和第 90 百分位租金。本图采用 y∣x∼N(μ(x),σ2(x))y∣x∼N(μ(x),σ2(x))，其中 μ(x)=2000+50xμ(x)=2000+50x，σ(x)=400+10(x−60)σ(x)=400+10(x−60)。

从这幅图可以提出几种不同的问题。面积增加时，平均租金怎样变化？这是在研究条件期望 E⁡(y∣x)E(y∣x)。同一面积的住房之间，租金差异有多大，这种差异是否随面积改变？这对应条件方差 Var⁡(y∣x)Var(y∣x)。如果关心较便宜和较昂贵的住房，可以研究条件分位数 Q0.1(y∣x)Q0.1​(y∣x) 和 Q0.9(y∣x)Q0.9​(y∣x)，也就是给定面积后的第 10 和第 90 百分位租金。

需要说明的是，这两个分位数分别是最便宜 10% 和最贵 10% 住房的分界点，并不是这两组住房各自的平均租金。若关心这两组的平均水平，研究的就是相应的尾部条件均值。

这些分布特征都可以与面积等变量建立回归关系。图 2 中，条件均值与两个条件分位数都随面积线性变化，条件标准差也随面积线性增加。均值、分位数和方差可以分别建模，不必都采用同一组模型项；对方差还可以使用对数形式，保证预测值为正。第 3.1 和 3.2 节将回到这幅图，进一步说明这些设定之间的关系。

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