企业官网建设流程全解析

昨天远心那篇结尾说了，今天聊畸变。远心管的是物距变了倍率跟着变，畸变是另一回事：物距不动，倍率在一张图里也不是处处一样。

现场挺常见的一种情况：拿一个标准件放在视野中间，算出一个像素当量，多少毫米一个像素，测中间的件挺准。件一挪到视野边上，尺寸就小了一截，挪到角上更离谱。有人以为是边上光暗了、边缘没提准，换算法调了半天，数还是跟着位置走。这种跟着位置走的误差，八成是镜头畸变。只用一个比例系数换算尺寸，等于默认整张图倍率一样，这个前提在普通镜头上本来就不成立。

桶形和枕形是怎么来的

理想的镜头，拍一张方格网，出来还是方格网，只是缩小了。实际镜头里，离光轴越远，倍率会慢慢变。越往外倍率越小，四条边往里收、中间鼓出来，像个桶，叫桶形畸变；越往外倍率越大，四个角往外拉，叫枕形畸变。

成因说白了跟光阑位置有关。主光线都要穿过光阑中心，光阑不在镜片上的话，主光线打到镜片上的高度就跟视场角有关，边上的光线被多折或者少折一点，倍率就不均匀了。光阑在镜片前面，一般出桶形；在后面，一般出枕形。真实镜头是好几组镜片，设计的时候会让前后两组的畸变互相抵掉一部分，抵不干净的就是手册上那个畸变值。

经验上，短焦、广角的镜头视场角大，畸变普遍大，而且多半是桶形；长焦的通常小很多。远心镜头本来就是冲着测量去的，好的能做到 0.1% 以内。

标定里那几个系数在说什么

做过相机标定的都见过k1k_1k1​、k2k_2k2​、p1p_1p1​、p2p_2p2​这几个参数，常见的标定库基本都是这一套模型。径向畸变只跟点离畸变中心的距离rrr有关：

rd=r (1+k1r2+k2r4+k3r6) r_d = r\,(1 + k_1 r^2 + k_2 r^4 + k_3 r^6)rd​=r(1+k1​r2+k2​r4+k3​r6)

rrr是理想位置的半径，rdr_drd​是实际拍到的位置。k1k_1k1​是负的就是桶形，正的就是枕形。工业镜头一般k1k_1k1​一项就占了大头，k2k_2k2​修一下边上，k3k_3k3​很少用得上，开多了反而容易在角上过拟合。

切向畸变来自装配：镜片没对正、有点偏心，或者传感器跟镜头不完全平行，图像会往某个方向歪一点：

Δxt=2p1xy+p2(r2+2x2),Δyt=p1(r2+2y2)+2p2xy \Delta x_t = 2p_1 xy + p_2 (r^2 + 2x^2),\qquad \Delta y_t = p_1 (r^2 + 2y^2) + 2p_2 xyΔxt​=2p1​xy+p2​(r2+2x2),Δyt​=p1​(r2+2y2)+2p2​xy

工业定焦镜头装配都还行，p1p_1p1​、p2p_2p2​通常很小。我的习惯是先只开径向，看残差怎么分布，残差明显偏向某个方向，再把切向打开。还有一种情况要留心：镜头被人碰过，或者相机接口没拧紧，切向那项会突然变大，这时候该去查机械，不是加参数。

手册上的 -0.5% 怎么看

手册上的畸变百分比，定义是这样的：

D=rd−rr×100%≈k1r2×100% D = \frac{r_d - r}{r}\times 100\% \approx k_1 r^2 \times 100\%D=rrd​−r​×100%≈k1​r2×100%

负号是桶形，正号是枕形。这个值一般给的是靶面对角线最边上，也就是畸变最大的地方。只看k1k_1k1​那一项，畸变百分比跟r2r^2r2成正比，换成偏移量就是跟r3r^3r3成正比：

Δr=Dmax(rrmax)2r \Delta r = D_{\mathrm{max}} \left(\frac{r}{r_{\mathrm{max}}}\right)^2 rΔr=Dmax​(rmax​r​)2r

这个式子值得记一下。半径减半，偏移只剩八分之一，所以视野中间几乎看不出畸变，问题全堆在边上和角上。

这里有两个坑。一个是有的手册标的是 TV 畸变，看的是画面上边那条直线弯了多少，跟上面这个光学畸变不是一个定义，两支镜头放一起比之前先看清楚标的是哪种。另一个是畸变跟靶面有关，同一支镜头配大靶面的相机，用到了更外圈，畸变就比配小靶面时大。

算一笔：同一个件放中间和放边上

还用 D9、D10 那套：2/3 英寸、2448×2048、像元 3.45 µm 的相机，配 25 mm 镜头，水平视野 120 mm，物方一个像素约 49 µm。图像中心到角上是 1596 个像素，对应物方约 78.2 mm。假设手册写的是 -0.5%：

Δrcorner=0.5%×1596≈8.0 px≈0.39 mm \Delta r_{\mathrm{corner}} = 0.5\% \times 1596 \approx 8.0\ \mathrm{px} \approx 0.39\ \mathrm{mm}Δrcorner​=0.5%×1596≈8.0px≈0.39mm

角上的点往里缩了 8 个像素。水平方向的视野边离中心 60 mm，那里的畸变约 -0.29%，偏移约 3.6 个像素，0.18 mm。顺带一提，这个 -0.5% 换成标定里归一化坐标下的k1k_1k1​，大约是 -0.12，自己标出来数量级差不多就对了。

放一个 50 mm 长的件。放在视野正中间，两端离中心各 25 mm，每端只往里缩 0.26 个像素，测出来短了约 0.52 个像素，也就是 26 µm。同一个件挪到右半边，从 10 mm 到 60 mm，右端缩了 3.6 个像素，左端几乎不动，测出来短了约 176 µm。同一个件换个位置，误差差了七倍左右。

假如公差是 ±0.05 mm，按测量误差最好不超过公差带十分之一的老规矩，留给畸变的也就 10 µm 上下。放中间的 26 µm 已经超了，靠边的 176 µm 比整个公差带还宽。换一支 -0.1% 的低畸变镜头，中间约 5 µm，靠边约 35 µm，中间能凑合，边上照样不行。

想自己换参数算的，这几行就够了：

importnumpyasnp W,H=2448,2048# 分辨率mm_per_px=120.0/W# 水平视野 120 mm，物方约 0.049 mm/像素r_max=np.hypot(W/2,H/2)# 中心到角，像素D_max=-0.005# 手册畸变 -0.5%，只算 k1 那一项defshift_px(r):"""半径 r（像素）处的径向偏移，像素，负数表示往里缩"""returnD_max*(r/r_max)**2*rforname,x1,x2in[("居中",-25,25),("靠边",10,60)]:s1=np.sign(x1)*shift_px(abs(x1)/mm_per_px)s2=np.sign(x2)*shift_px(abs(x2)/mm_per_px)err=(s2-s1)*mm_per_pxprint(f"{name}: 长度误差{err*1000:.1f}µm，{err/mm_per_px:.2f}像素")

校正能救多少，什么时候该换镜头

软件校正是现在的常规做法：拍十几张不同位置、不同姿态的标定板，解出内参和畸变系数，再按模型把点还原回去。标定做得认真，重投影误差压到 0.1 个像素上下是正常的，换到物方也就 5 µm 左右，上面靠边那 176 µm 基本都能救回来。

但校正不是白给的，现场踩过的坑有这么几个。

焦距和光圈一动，畸变系数就变了。标完之后对焦环、光圈环一定要锁死，最好再点个胶。现场总有人觉得图有点虚，顺手拧一下，前面的标定就白做了。

标定板要铺满视野，尤其是四个角。图省事把标定板放在中间拍几张，中间是准了，角上的系数全靠外推，偏偏畸变最大的就是角上。

整张图做 remap 要插值，边缘会软一点，桶形校正完四个角还得裁一圈或者留黑边，也吃算力。我做测量一般不校正整张图，只对提出来的边缘点做去畸变，快，也不动原始灰度。

什么时候直接上低畸变镜头？我的判断很土：先按上面的式子把视野边上的偏移算出来。校正后的残差能稳定压在公差的十分之一以内，就用普通镜头加标定；要是残差本身就卡在边上，或者现场振动大、镜头老被碰、也没人会重新标定，那就宁可多花点钱上低畸变或者远心，光学上本来就直的，比软件掰直的省心。读码、有无检测这类不测尺寸的活，畸变一两个百分点也无所谓，没必要折腾。

下篇聊衍射极限和艾里斑，光圈为什么不是越小越好。