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导读

本文围绕 thebookofshaders 仓库第 08 章 08/README.md 的核心主题展开：用 2D 矩阵对坐标空间进行平移（Translate）、旋转（Rotation）与缩放（Scale）。你将学会如何用 GLSL 内置的mat2构造旋转矩阵和缩放矩阵，理解"移动空间而非移动物体"的着色器思维，并通过仓库中的 cross-translate.frag、cross-rotate.frag、cross-scale.frag 与 yuv.frag 四个可运行示例，掌握把矩阵变换应用到任意图形乃至颜色向量的完整方法。读完本文，你将能独立完成一个由多个图形组合、动态运动的 HUD 风格作品。

矩阵是一种非常强大的向量操作工具。掌握了矩阵的用法，你就能自由地对任何用向量表达的事物进行平移、缩放与旋转——这也是后续章节构造复杂程序纹理的基础。

核心思想：移动坐标空间，而不是移动物体

在上一章（第 07 章"形状"）中，我们已经学会如何用smoothstep等函数绘制矩形、圆、三角形等基本图形。要让这些图形动起来，最直接的想法似乎是去修改图形的坐标。但本书采用的技巧恰恰相反：保持物体坐标不变，移动它所在的坐标系本身。

在片段着色器中，st变量保存着每个片段的归一化位置（gl_FragCoord.xy / u_resolution.xy）。所谓"平移图形"，只需要给st加上一个向量，整个坐标空间就会跟着移动：

vec2 st = gl_FragCoord.xy / u_resolution.xy; vec2 translate = vec2(cos(u_time), sin(u_time)); st += translate * 0.35; // 整个空间绕圆周移动

用仓库中的 cross-translate.frag 亲自验证：取消第 35 行// color = vec3(st.x,st.y,0.0);的注释，你会看到背景上的坐标渐变也随之移动——这正是"空间本身在平移"的直接证据。

练习建议：为十字赋予真实运动的质感

原文给出了一个极佳的实践方向：结合u_time与造型函数（shaping functions），让十字按照你感兴趣的"真实世界"运动方式移动。波浪的来去、钟摆的往复、弹球的反弹、汽车的加速、自行车的刹车，都是值得记录与模拟的参考对象。这一练习为下一节的旋转动画埋下了伏笔。

GLSL 中的矩阵：mat2、mat3 与 mat4

矩阵是按行和列组织的数字集合，用矩阵乘以向量遵循一套精确规则，从而以特定方式改变向量的值。GLSL 原生支持三种方阵类型，仓库术语表 glossary/mat2/README.md、glossary/mat3/README.md、glossary/mat4/README.md 给出了它们的声明与初始化方式：

需要特别注意的是初始化顺序：GLSL 矩阵按列填充。例如mat2的四个参数依次是第一列的两个元素、第二列的两个元素，即mat2(cos(_angle), -sin(_angle), sin(_angle), cos(_angle))实际构造出的矩阵第一列为(cos, -sin)、第二列为(sin, cos)。

在矩阵操作上，GLSL 支持：

• 矩阵乘法*：矩阵与向量、矩阵与矩阵相乘；
• matrixCompMult()：对两个矩阵做逐分量（component-wise）乘法。其声明与语义见 glossary/matrixCompMult/README.md，例如mat2 matrixCompMult(mat2 x, mat2 y)，结果矩阵每个分量result[i][j] = x[i][j] * y[i][j]，这与数学上的矩阵乘法截然不同。

仓库中的 08/matrices.frag 是一份矩阵参考速查，包含 2D 旋转、3D 绕 X/Y/Z 轴旋转（rotateX3D、rotateY3D、rotateZ3D及其 4D 版本）、3D 缩放scale4D与平移translate4D的完整构造，可以作为后续练习的对照资料。

旋转：绕原点旋转坐标系

有了矩阵概念，就可以构造旋转矩阵。原文给出了 2D 旋转矩阵的标准公式（仓库中的 08/rotmat.png 展示了该数学表达式），并将它实现为如下 GLSL 函数：

mat2 rotate2d(float _angle){ return mat2(cos(_angle), -sin(_angle), sin(_angle), cos(_angle)); }

该函数将二维向量绕vec2(0.0)原点旋转。注意：我们画图形时并不在原点。十字形状画在画布中心vec2(0.5)，因此旋转前必须先把空间中心移到原点，旋转之后再移回去，形成经典的三步序列（参见 cross-rotate.frag 的完整实现）：

void main(){ vec2 st = gl_FragCoord.xy / u_resolution.xy; vec3 color = vec3(0.0); // 1. 把空间从中心移到 vec2(0.0) st -= vec2(0.5); // 2. 旋转空间（角度随时间正弦变化） st = rotate2d( sin(u_time) * PI ) * st; // 3. 移回原来的位置 st += vec2(0.5); color += vec3(cross(st, 0.4)); gl_FragColor = vec4(color, 1.0); }

旋转练习

原文为这一节设计了三个递进式练习，全部可以通过 cross-rotate.frag 的注释开关验证：

1. 取消第 45 行注释（// color = vec3(st.x,st.y,0.0);），观察旋转过程中坐标空间本身的变化；
2. 注释掉第 37 行与第 39 行的平移，观察缺少"移回中心"的后果——旋转将绕画布左下角进行，图形会飞出视野；
3. 用旋转改进上一节平移练习中的动画：将十字的运动从简单的圆周平移升级为"自转 + 公转"。仓库中的 08/cross-animated.frag 正是这一进阶的示例实现——它先用st = rotate2d( sin(u_time*0.5)*PI ) * st;让图形绕自身中心往复旋转，再叠加st += translate*0.35;的圆周平移，将旋转与平移两种变换组合在同一着色器中。

缩放：对角矩阵

平移与旋转之外，矩阵同样可以缩放物体大小——这正是 3D 建模软件以及 Processing 中pushMatrix/popMatrix的底层机制。2D 缩放矩阵是一个对角矩阵，非对角线元素为零（示意图见 08/scale.png）：

mat2 scale(vec2 _scale){ return mat2(_scale.x, 0.0, 0.0, _scale.y); }

在 cross-scale.frag 中，缩放同样遵循"移到原点 → 变换 → 移回"的流程，并且用时间驱动缩放系数产生呼吸效果：

st -= vec2(0.5); st = scale( vec2(sin(u_time) + 1.0) ) * st; // 缩放系数在 0~2 之间往复 st += vec2(0.5);

缩放练习

• 取消第 42 行注释，观察空间坐标如何被缩放（缩放中心位于原点，空间会被拉伸或压缩）；
• 注释掉第 37 行与第 39 行的平移，观察以画布角落为原点的缩放效果；
• 组合旋转矩阵与缩放矩阵：先构造rotate2d(angle) * scale(scaleVec)之类的复合矩阵再乘向量。注意变换顺序至关重要——矩阵乘法不满足交换律，左乘顺序决定了"先旋转再缩放"还是"先缩放再旋转"，两种结果截然不同。

综合创作：用变换拼装 HUD

现在你已经掌握了绘制图形（第 07 章）、平移、旋转与缩放的全部基础。原文给出的收尾练习是：设计并构造一个假的 UI 或 HUD（平视显示器）。将多个十字、矩形等基础图形通过矩阵变换组合成仪表盘、瞄准框、状态栏等界面元素，并让部分元素以u_time驱动运动，即可获得一个可实时交互的着色器 HUD。这也是把"变换"从单个图形推广到"合成场景"的关键一步。

矩阵的另一个应用：YUV 颜色空间变换

矩阵变换的对象不限于空间坐标——颜色同样可以视为向量进行矩阵运算。YUV 是一种用于模拟照片与视频模拟编码的色彩空间，它考虑人类感知特性，通过降低色度（chrominance）分量的带宽来实现压缩。RGB 与 YUV 之间的转换本质上就是一次 3×3 矩阵乘法。

仓库中的 yuv.frag 完整实现了这一思路，直接使用mat3作为转换矩阵：

// YUV to RGB matrix mat3 yuv2rgb = mat3(1.0, 0.0, 1.13983, 1.0, -0.39465, -0.58060, 1.0, 2.03211, 0.0); // RGB to YUV matrix mat3 rgb2yuv = mat3(0.2126, 0.7152, 0.0722, -0.09991, -0.33609, 0.43600, 0.615, -0.5586, -0.05639); void main(){ vec2 st = gl_FragCoord.xy / u_resolution.xy; vec3 color = vec3(0.0); // UV 取值范围是 -1 到 1，需要把 st(0.0~1.0) 重映射 st -= 0.5; // 变为 -0.5 ~ 0.5 st *= 2.0; // 变为 -1.0 ~ 1.0 // 把 st 作为三维向量的 y、z 分量，与 3x3 矩阵相乘 color = yuv2rgb * vec3(0.5, st.x, st.y); gl_FragColor = vec4(color, 1.0); }

这段代码展示了三个值得留意的细节：

1. mat3的 9 个参数同样按列优先填充，每一列对应输出 RGB（或 YUV）的一个分量与输入三个分量之间的线性组合系数；
2. 为了让屏幕坐标映射到 UV 的有效区间，先把st从[0,1]重映射到[-1,1]；
3. 屏幕横纵坐标分别充当 U、V 分量，固定 Y 亮度分量为0.5，将二维屏幕"映射"成一张完整的 YUV 色度图，再由矩阵乘法还原为 RGB 显示。

由此可见，"用矩阵移动值"的思想完全适用于颜色空间。这类矩阵化的颜色处理也是后续章节（如第 16 章混合与第 18 章 LUT）中高级色彩操作的基础。

小结与工具箱

本章核心收获可以概括为三句话：

• 平移：给st加向量即可移动整个坐标空间；
• 旋转：rotate2d(angle)构造 2D 旋转矩阵，配合"移到原点 → 变换 → 移回"三步序列完成绕任意中心点的旋转；
• 缩放：对角矩阵scale(vec2)控制各轴缩放比例，变换顺序决定最终效果。

矩阵变换对所有向量表达的事物一视同仁——坐标是向量，颜色也是向量，因此这些技巧将贯穿本书后续全部章节，用于把基础图形组合成漂亮的过程化纹理与图案。

如果你希望进一步探索，可以将 08/matrices.frag 中的 3D 旋转矩阵（rotateX3D、rotateY3D、rotateZ3D、scale4D、translate4D）作为进阶参考，理解如何把本章的 2D 思路推广到三维空间；同时可以对照 glossary/mat2/README.md 与 glossary/matrixCompMult/README.md 弄清矩阵初始化与逐分量乘法等底层细节，为后续章节的创作打好基础。