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本篇是「宫水三叶的刷题日记」刷穿 LeetCode 系列第 No.507 篇的深度解读。文章以 LeetCode/501-510/507. 完美数（简单）.md 为核心骨架，完整继承原题解中的数学推导、成对因子枚举思路与 Java 参考代码，并结合本仓库的 Tag 归类体系，补充边界情形论证、溢出规避原理与数论背景，帮助你彻底掌握这一类「因数统计类」简单题的通用解法，读完后可直接在 LeetCode 上独立 AC 并迁移到其他因子枚举类题目。

题目描述与输入输出约定

对于一个正整数，如果它和除了它自身以外的所有正因子之和相等，我们称它为「完美数」（Perfect Number）。

给定一个整数n，如果是完美数返回true，否则返回false。

Tag：模拟、数论、数学

难度：简单

数据范围：1 <= num <= 10^8

示例

示例 1：

输入：num = 28 输出：true 解释：28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 1, 2, 4, 7, 和 14 是 28 的所有正因子。

示例 2：

输入：num = 6 输出：true

示例 3：

输入：num = 496 输出：true

示例 4：

输入：num = 8128 输出：true

示例 5：

输入：num = 2 输出：false

从示例可以看到，判断的关键在于两点：一是正确枚举出除自身以外的全部正因子，二是对因子求和并与原数比较。前四个示例恰好就是最小的四个完美数 6、28、496、8128，而 2 的因子只有 1，1 ≠ 2，因此返回false。

核心思路：朴素枚举的缺陷与成对因子优化

拿到题目最容易想到的做法是从1到num - 1逐个判断能否整除并累加，但num上限是10^8，线性枚举在最坏情况下需要执行约10^8次取模运算，虽然勉强能过，但显然不是最优解。

原题解给出的关键洞察是：正因子总是成对出现的。例如28的因子对为(1, 28)、(2, 14)、(4, 7)，每一对中较小的因子一定不超过sqrt(num)。因此我们只需要枚举每对正因子中的较小数，即从[1, sqrt(num)]范围内枚举即可（num > 1时成立），枚举到一个小因子i后，配对的大因子num / i可以直接算出并一并累加。

这样一来，枚举量从O(num)直接降到O(sqrt(num))，对10^8规模的数据只需约10^4次迭代。

数学解法：边界、溢出与平方根特判

原题解的参考代码如下（Java）：

class Solution { public boolean checkPerfectNumber(int num) { if (num == 1) return false; int ans = 1; for (int i = 2; i <= num / i; i++) { if (num % i == 0) { ans += i; if (i * i != num) ans += num / i; } } return ans == num; } }

这段代码非常精简，背后有三个值得细讲的工程细节：

1. 为什么num == 1直接返回false

1除了自身以外没有任何正因子，因子和（空和）为0，0 ≠ 1，因此直接返回false。若不特判，下面的循环i从2开始不会执行，ans初始化为1，ans == num会错误地判定1为完美数，所以这一行是必须的。

2. 用i <= num / i代替i <= sqrt(num)的动机

原题解明确说明：使用i <= num / i作为上界判断，目的是避免调用sqrt库函数以及整数溢出。

• 如果写i <= Math.sqrt(num)，需要引入浮点库函数，浮点开方在精度与性能上都劣于纯整数比较；
• 如果写i * i <= num，当num接近10^8时i最大约10^4，i * i不会溢出；但若题目数据范围进一步扩大，i * i在int下可能溢出为负数，从而破坏循环条件。

而i <= num / i全程使用整数除法，既无浮点误差，也不会溢出，是处理这类「以平方根为上界」问题的通用写法，在仓库其他数学类题解中同样被反复采用（参见 Index/数学.md 收录的 367. 有效的完全平方数、441. 排列硬币等题）。

3.i * i != num的平方根特判

当num是完全平方数时，其平方根i是唯一不与另一个不同因子配对的因子。例如num = 36，因子对为(1, 36)、(2, 18)、(3, 12)、(4, 9)、(6, 6)，其中6只应计数一次。

因此当num % i == 0时，先累加i，再判断i * i != num：若i不是平方根，说明num / i是另一个不同的因子，一并累加；若是平方根，则num / i与i相等，跳过避免重复计数。这正是成对枚举中唯一的重复风险点，代码用一行判断干净地化解了它。

累加初值ans = 1的含义

由于循环从i = 2开始，因子1被跳过，因此将ans的初值直接设为1，等价于把1这一因子预先计入。这与题目「除了它自身以外的所有正因子之和」的定义严格对齐——1计入、num自身不计入（因为成对枚举时大因子num / i的最小取值就是i = 2时给出的num / 2，永远不会取到num本身，当num为素数时循环内一个因子都加不进去，ans恰好等于1）。

复杂度分析

• 时间复杂度：O(sqrt(num))。循环上界为i <= num / i，迭代次数不超过sqrt(num)量级，对num = 10^8上限仅需约10^4次迭代，毫秒级完成。
• 空间复杂度：O(1)。仅使用常数个整型变量，不依赖任何额外数据结构。

在本题数据范围下，该算法无论时间还是空间都是最优级别的表现；ans的累加值在10^8内也不会超出int表示范围。

边界用例验证与正确性论证

其中36这个用例特别适合用来检验平方根特判：若把6重复累加两次，因子和会变成61 ≠ 36，但按正确逻辑得到55 ≠ 36，依然返回false，因此特判的正确性在非完美完全平方数上体现得最清楚。

数论背景延伸：完美数家族与欧几里得-欧拉定理

本题虽标记为「简单」，背后却连接着一个经典的数论话题。完美数的研究可追溯到古希腊，最早被确认的几个完美数正是题目示例中的6, 28, 496, 8128。数论中著名的欧几里得-欧拉定理给出结论：偶完美数与梅森素数一一对应——若2^p - 1是素数，则2^(p-1) * (2^p - 1)是偶完美数；反之每个偶完美数都具有该形式。据此可以验证，在本题1 <= num <= 10^8的范围内，恰好存在 5 个完美数：6, 28, 496, 8128, 33550336，这也是另一种理论上可行的「打表」思路（仓库中另有 Index/打表.md 专题可供参考）。

值得说明的是：是否存在奇完美数至今是数论中未解决的问题，目前已知的完美数均为偶数。这些背景能帮助你理解为什么题目给出的示例恰好是这些数字，但在本题的约束下，成对因子枚举的模拟解法才是通用、稳妥且可迁移的首选。

仓库归类与延伸学习

本题在原仓库中被同时归入「数学/数论」与「模拟」两个专题：

• Index/数学.md：收录 507. 完美数 的题解链接，与 367. 有效的完全平方数、441. 排列硬币、633. 平方数之和等因子与平方根类题目归为一类；
• Index/模拟.md：从「按规则逐项统计」的视角将本题与 166. 分数到小数、400. 第 N 位数字 等模拟类简单题并列。

如果你希望进一步巩固本解法中用到的技巧，可以按以下顺序延伸阅读仓库内相关题解：

1. 367. 有效的完全平方数（数学/二分）：同样围绕sqrt与整数平方根判断，体会i <= num / i这类整数写法的通用性；
2. 441. 排列硬币（数学/二分）：同样需要以平方根级别上界做枚举/二分的数学题；
3. 633. 平方数之和（数学/双指针）：继续练习因子与平方根视角的组合使用；
4. 若想挑战同类但更复杂的「因子统计」问题，可阅读 Index/数论相关题解 中难度更高的题目。

小结

LeetCode 507「完美数」是一道典型的用数学性质优化模拟的入门题。核心要点可总结为三条：

1. 正因子成对出现，只需枚举到sqrt(num)即可覆盖所有因子，复杂度从O(num)降为O(sqrt(num))；
2. 用i <= num / i作为循环上界，避开sqrt库函数与整数乘法溢出两种隐患；
3. 对完全平方数做i * i != num特判，避免平方根因子被重复累加，并正确处理num = 1的边界。

掌握这套「成对因子枚举」的写法后，你不仅能在本题轻松 AC，还能将它直接迁移到其他因子统计、因子和计算的题目中。完整的原始题解与仓库全部系列文章，可在 LeetCode/501-510/507. 完美数（简单）.md 及 README.md 中查看。

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