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群同态的定义

群同态是抽象代数中用来描述两个群之间结构保持关系的核心概念。

定义

设(G,⋅)(G, \cdot)(G,⋅)和(H,∗)(H, *)(H,∗)是两个群。如果存在一个映射f:G→Hf: G \to Hf:G→H，使得对于GGG中的任意两个元素a,ba, ba,b，都满足以下条件：

f(a⋅b)=f(a)∗f(b)f(a \cdot b) = f(a) * f(b)f(a⋅b)=f(a)∗f(b)

那么，这个映射fff就被称为从群GGG到群HHH的群同态。

简单来说，群同态是一个映射，给出了两个群在代数结构上的一种相似性。

相关概念

为了更深入地理解群同态，通常还会涉及到以下几个衍生概念：

• 同态像：映射fff在GGG上的像集Im(f)={f(g)∣g∈G}\text{Im}(f) = \{f(g) \mid g \in G\}Im(f)={f(g)∣g∈G}是HHH的一个子群。
• 核：群HHH中单位元eHe_HeH​在GGG中的原像集合，记作Ker(f)={g∈G∣f(g)=eH}\text{Ker}(f) = \{g \in G \mid f(g) = e_H\}Ker(f)={g∈G∣f(g)=eH​}。核是GGG的一个正规子群，它衡量了映射fff“丢失”了多少GGG的结构信息。
• 单同态：如果fff是单射（一对一），则称为单同态。此时GGG同构于HHH的一个子群。
• 满同态：如果fff是满射（映上），则称为满同态。
• 同构：如果fff既是单射又是满射（即双射），则称为群同构。此时两个群在代数结构上被认为是完全相同的。