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第一次在Matlab里看到涡旋光束的相位图时，我盯着屏幕愣了好一会儿——整个相位面像被拧成了螺旋，从中心一点向外一圈圈转出去。那个中心点相位是个奇点，光强正好是零，所以光斑中间是个标准的小圆洞。也就是这一眼，让我把课本上“携带轨道角动量的光”这句抽象的描述彻底看明白了。

这篇内容主要围绕“Matlab仿真常见涡旋光束”展开，我会从涡旋光束的物理图像讲起，把拉盖尔-高斯光束的复振幅构造、干涉图样验证、自由空间传播仿真、高阶涡旋与叠加态等内容逐步串起来，最后附上我反复踩过的坑。无论你是光学方向的本科生、研究生，还是刚开始接触光场仿真的工程师，只要能用Matlab写几行矩阵运算，就可以照着这篇文章造出属于自己的涡旋光束。

1. 螺旋相位与轨道角动量：先弄懂涡旋光束在“旋”什么

1.1 指数因子 exp(ilφ) 的物理直觉

涡旋光束最核心的东西，其实就是一个相位因子：

E ∝ exp(ilφ)

这里φ是光场横截面上的方位角，从0到2π绕一圈；l是一个整数，叫拓扑荷数。这个因子意味着当你在横截面上沿着某个半径绕中心走一整圈时，相位并不是回到原值，而是变化了2πl。相位变化了整数个2π，所以电场本身仍然连续，但中心那一点的相位无法定义，是一个奇点。为了让波动方程成立，中心振幅必须强迫为零，这就是为什么涡旋光束的光强图中间总有一个暗洞。

用生活化的方式理解：普通高斯光束的等相位面像个平整的球冠，光往前传播时波前是光滑的；涡旋光束的等相位面则像被“拧”过的弹簧面，拧了几圈，拓扑荷数就是几。拓扑荷的正负代表旋转方向，好比左旋螺纹和右旋螺纹。

我第一次仿真l=1的涡旋光束时，觉得这个“拧”看不太出来，直到画出相位图才意识到：整个相位分布就是一把“旋转楼梯”。相位从-π渐变到π，中间夹着一条相位跳变线。很多资料把这个跳变线画成从中心向外的一条“切缝”，实际上它对涡旋结构至关重要。

1.2 涡旋光束家族：为什么拉盖尔-高斯束最常用

涡旋光束不是一个单一的光束，而是一类带有螺旋相位的光束的总称。常见的有：

• 拉盖尔-高斯光束（Laguerre-Gaussian，LG）：柱坐标系下傍轴波动方程的本征解，携带确定轨道角动量，实验上最容易用螺旋相位板或空间光调制器产生。
• 贝塞尔-高斯光束（Bessel-Gaussian）：具有无衍射特性，中心亮斑或暗斑可以在较长距离内保持不扩散，适合光镊和成像。
• 艾里涡旋光束、马丢涡旋光束等：特殊场景下使用。

但如果只做基础仿真，我强烈建议从LG束入手，原因有三个。第一，它的复振幅表达式是解析的，只需几条Matlab语句就能构造；第二，它在自由空间传播时保持涡旋结构，很适合用角谱法观察演化；第三，它直接对应轨道角动量(OAM)的本征态，后续不管做OAM复用、涡旋光通信还是超表面设计，都是绕不开的基础。

需要区分的是，圆偏振光对应的自旋角动量（SAM）和涡旋光束对应的轨道角动量（OAM）是两种不同的自由度。自旋角动量来自电场矢量的旋转，轨道角动量来自波前相位结构的旋转。一个线偏振涡旋光束也能携带OAM，只是没有SAM。这个区别在仿真中不会直接影响光强和相位，但如果做的是矢量光束或紧聚焦仿真，就要特别注意。

2. 仿真起点：二维网格怎么搭才不出“鬼影”

2.1 网格点数、物理尺寸与采样间隔的取舍

Matlab仿真光场，本质上就是把连续光场离散成二维矩阵。矩阵的每个元素对应空间上的一个采样点，所以第一步必须是搭好坐标系。这一步看似简单，实际上决定了后面所有结果的可靠性。

我常用的参数组合是：

• 网格点数 N = 512 或 1024
• 网格物理尺寸 L = 3 mm 到 5 mm
• 束腰半径 w0 = 0.4 mm 左右
• 波长 lambda = 632.8 nm（氦氖激光器）

采样间隔 dx = L / N。如果L=3 mm，N=512，则dx约5.86 μm。对可见光波段来说，这个采样间隔足够描述束腰在百微米量级的高斯包络。经验法则是：网格尺寸至少要覆盖束腰的4到5倍，否则高斯包络在边界被截断，仿真的光强图会出现一圈不自然的环；而dx至少要小于光场最小特征尺度的一半。

为什么要纠结采样间隔？这关系到后面的傅里叶变换。角谱法传播中要用到fft2，而fft2输出的频率范围由dx决定：最大可表示空间频率是1/(2dx)，大于这个频率的成分会混叠回低频，形成所谓的“鬼影”或折叠条纹。如果网格太小，最初看不出问题，一旦做传播仿真，高频混叠非常明显。

2.2 用 meshgrid 构造径向和极角坐标

Matlab里最常用的网格构造方式如下：

lambda = 632.8e-9; % 波长 N = 512; % 网格点数 L = 3e-3; % 网格尺寸 w0 = 0.4e-3; % 束腰半径 l = 1; % 拓扑荷数 p = 0; % 径向指数 dx = L / N; x = (-N/2 : N/2-1) * dx; [X, Y] = meshgrid(x, x); [Phi, R] = cart2pol(X, Y);

meshgrid生成的是二维网格坐标X和Y，然后用cart2pol直接得到径向坐标R和极角Phi。这一步非常方便，不需要手动写 atan2。

有一个细节需要提醒：x数组我习惯用(-N/2 : N/2-1)，而不是linspace(-L/2, L/2, N)。两者很接近，但前者保证相邻点间距精确为dx，后者采样点之间间距略有差异，在做fft2时容易引入额外的数值误差。这个差异很小，但既然能做对，就别留隐患。

2.3 一个容易忽略的问题：原点处的 0^0

构造涡旋光束时，我们会遇到(R.^abs(l))这样的项。当l=0时，R=0处的0^0在Matlab里恰好返回1，所以普通高斯光束不会出问题。但当l≠0时，(R.^abs(l))在原点为0，这正好是涡旋光束需要的中心振幅为零。

麻烦往往出在负指数或除法运算上。有些人为了构造高阶涡旋，会写(R.^(-abs(l)))或1./(R.^abs(l))，这在原点会得到Inf。物理上涡旋光束的振幅不会发散，所以这种写法是错的。正确做法是保留(R.^abs(l))在原点为零的特性，后面再乘上高斯包络exp(-R.^2/w0^2)，这样原点处振幅就是0乘1，干净利落。

3. 拉盖尔-高斯光束复振幅构造与可视化

3.1 焦平面复振幅公式

拉盖尔-高斯光束在z=0处的复振幅可以写成：

E_lp(r, φ) = A * (√2 r / w0)^|l| * L_p^|l|(2r²/w0²) * exp(-r²/w0²) * exp(ilφ)

其中：

• A是归一化常数，如果只看相对强度，可以省去；
• L_p^|l|是关联拉盖尔多项式；
• exp(-r²/w0²)是高斯包络；
• exp(ilφ)是螺旋相位因子。

很多教程为了省事只写p=0的情形，这时L_0^|l|恒为1，公式简化成：

E_l0(r, φ) ∝ (√2 r / w0)^|l| * exp(-r²/w0²) * exp(ilφ)

我做仿真时，p=0的模式用得最多，因为实验中最常见的涡旋光就是p=0的LG束。但为了让代码更通用，建议把拉盖尔多项式也一并实现，这样以后想要多环结构就能直接改参数。

3.2 拉盖尔多项式的Matlab实现

Matlab的符号数学工具箱里有laguerreL函数，可以直接调用。但很多情况下并没有装这个工具箱，而且符号计算在高分辨率网格上非常慢。我习惯用递推关系手写，速度快而且可控：

L_0^k(x) = 1

L_1^k(x) = 1 + k - x

L_{n+1}^k(x) = [(2n+1+k-x) * L_n^k(x) - (n+k) * L_{n-1}^k(x)] / (n+1)

对应的Matlab代码：

function L = assoc_laguerre(n, k, x) % 递推计算关联拉盖尔多项式 L_n^k(x) if n == 0 L = ones(size(x)); return; end L_prev = ones(size(x)); % L_0 L_curr = 1 + k - x; % L_1 if n == 1 L = L_curr; return; end for m = 1 : n-1 L_next = ((2*m + 1 + k - x) .* L_curr ... - (m + k) .* L_prev) / (m + 1); L_prev = L_curr; L_curr = L_next; end L = L_curr; end

使用时只需要在构造光场的代码里写：

x = 2 * R.^2 / w0^2; Lp = assoc_laguerre(p, abs(l), x); E = (sqrt(2)*R/w0).^abs(l) .* Lp .* exp(-R.^2/w0^2) .* exp(1i*l*Phi);

需要注意的是，递推公式中的x不能是二维矩阵吗？完全可以，Matlab的数组运算天然支持逐元素计算。这也是为什么Matlab非常适合做光场仿真，整个横截面光场一次矩阵运算就出来了。

3.3 光强与相位图的正确画法

光强图很简单，I = abs(E).^2，然后用imagesc显示。我常用自定义的颜色映射，比如hot或parula，因为默认的jet虽然好看，但色带不单调，容易让人误读强度差异。

相位图稍微讲究一点。Matlab的angle函数返回的是[-π, π]范围内的包裹相位，直接画出来会出现密密麻麻的跳变线，这是正常现象，不是bug。对于涡旋光束来说，这些跳变线恰好就是从中心延伸到边界的那条线，非常有特征。

一个常用技巧是：相位图用mod(angle(E), 2*pi)，把范围转换到[0, 2π]再画，螺旋结构更直观，跳变线从-π到π的转换变成从2π到0的转换，视觉上干净许多。

figure('Position', [100 100 1200 500]); subplot(1,2,1); imagesc(x*1e3, x*1e3, abs(E).^2); axis image; colormap(gca, 'hot'); title('光强分布'); xlabel('x (mm)'); ylabel('y (mm)'); subplot(1,2,2); imagesc(x*1e3, x*1e3, mod(angle(E), 2*pi)); axis image; colormap(gca, 'hsv'); title('相位分布'); xlabel('x (mm)'); ylabel('y (mm)');

画出图之后，你应该能看到一个清晰的暗环或暗盘，以及相位图上的螺旋结构。中心点的相位奇点就在螺旋的中心处。

4. 干涉图样仿真：用叉形条纹给涡旋光束“验明正身”

4.1 平面波干涉：叉形条纹的产生原理

光强图上的暗斑可以承认涡旋光束，但还不能完全确认它就是涡旋——任何中空光强都可能长这样。真正的“指纹”在干涉图里。

把涡旋光束和一个倾斜的平面波叠加：

E_total = E_l + A * exp(i * kx * X)

其中kx = k * sinθ ≈ kθ是参考光的横向波矢。干涉图样的光强为：

I = |E_l|² + A² + A * E_l * exp(-i kx X) + A * conj(E_l) * exp(i kx X)

交叉项携带了涡旋光束的螺旋相位因子exp(ilφ)，所以干涉条纹会出现分叉结构。涡旋相位的等相位线绕中心一圈变化2πl，但平面波的条纹是平行线，两者叠加后，在相位奇点处条纹被迫“断开再重新接上”，产生分叉，分叉的条数正好等于拓扑荷数l。

这一段原理必须讲清楚，因为很多人在仿真时看到分叉条纹觉得好看就完事了，实际上分叉数量和方向才是关键。

4.2 Matlab干涉图样仿真代码

% 参考光参数 theta = 0.008; % 倾斜角，单位弧度，大约0.46度 kx = 2*pi/lambda * theta; % 横向波矢 E_ref = exp(1i * kx * X); % 平面波参考光 % 干涉 E_interf = E + E_ref; I_interf = abs(E_interf).^2; figure; imagesc(x*1e3, x*1e3, I_interf); axis image; colormap(gca, 'gray'); title(['l = ', num2str(l), ' 的叉形干涉条纹']);

运行之后，你会看到明暗相间的竖直条纹，在中心附近出现了叉形结构。当l=1时，条纹中间出现一个分叉，像字母Y倒过来；当l=2时，分叉条数变成两条；l的绝对值越大，分叉越多。

我一开始做干涉仿真时犯过一个错误：参考光的倾角设得太小，结果条纹间距比整个光斑还大，分叉特征完全看不清。后来总结的经验是，参考光的空间频率应该能让一个周期内装下至少4到5个条纹，也就是让干涉条纹间距δ = 2π/kx ≈ λ/θ大约为光斑尺寸的1/5到1/10。把θ设成0.005到0.02之间一般都有不错的效果。

叉形条纹的朝向也能反映l的正负。沿着参考光倾斜的方向观察，l>0时叉形开口朝某个方向，l<0时朝另一个方向。这个特征实验上用来快速判断拓扑荷符号。

4.3 用球面波干涉得到螺旋条纹

除了平面波，还可以用一个球面波作为参考光。球面波在傍轴近似下可以写成：

E_ref = exp(1i * k * (X.^2 + Y.^2) / (2 * d))

其中d是参考点源到观察面的距离。球面波和涡旋光束干涉后，由于球面波本身带有二次相位，等相位线变成圆弧，叠加后会产生螺旋条纹，从中心往外看就像蜗牛壳一样。这种干涉图样在实验中也常见，尤其在用马赫-曾德尔干涉仪时，如果一臂是平面波，一臂是涡旋光，看到的就是叉形条纹；如果用球面波，看到的就是螺旋条纹。

螺旋条纹的旋转方向和拓扑荷符号直接相关，仿真时可以通过改变l的符号观察条纹绕向反转。这个操作很直观，也能加深对拓扑荷方向的理解。

5. 角谱法模拟自由空间传播：看涡旋光束如何演变

5.1 角谱传递函数的推导与近轴近似

光场仿真最有意思的部分，不是只看焦平面，而是看它传一段距离之后长什么样。涡旋光束传几米之后会不会散了？中心暗斑还在不在？这两个问题都可以用角谱法回答。

角谱法的思路很简单：把初始光场E_in做二维傅里叶变换，得到它在空间频率域的角谱；自由空间传播只是给每个平面波分量叠加一个相位延迟；再逆傅里叶变换就得到传播后的光场E_out。

频域传递函数可以写成：

H(fx, fy) = exp(i * 2π * z * sqrt(1/λ² - fx² - fy²))

这是精确形式。在傍轴近似下，也就是fx² + fy²远小于1/λ²时，可以做泰勒展开得到常用形式：

H(fx, fy) ≈ exp(i * k * z) * exp(-i * π * λ * z * (fx² + fy²))

其中k = 2π/λ，z是传播距离。

Matlab代码：

function Eout = angular_spectrum(Ein, L, lambda, z) % 角谱法自由空间传播，近轴近似 N = size(Ein, 1); dx = L / N; fx = (-N/2 : N/2-1) / L; [FX, FY] = meshgrid(fx, fx); k = 2 * pi / lambda; H = exp(1i * k * z) .* exp(-1i * pi * lambda * z * (FX.^2 + FY.^2)); H = ifftshift(H); Eout = ifft2(fft2(Ein) .* H); end

使用这个函数前，一定要先自检：把z设成0，输出必须等于输入。如果不等，说明频域网格构造或ifftshift用错了。

频域网格fx = (-N/2 : N/2-1) / L这一句是整个传播函数的关键。L是网格物理尺寸，所以频率间隔是1/L，最大频率是N/(2L) = 1/(2dx)，对应奈奎斯特频率。

5.2 传播距离、采样条件与参数选择

角谱法看起来简单，但用起来有一堆限制。传播距离z过大时，H矩阵中高频分量的相位旋转非常快，导致数值上出现混叠。

判断标准可以用菲涅耳衍射的采样条件：对于光场横向范围L和波长λ，最大可传播距离大致满足：

z_max ≈ N * dx² / λ

以N=512、dx=5.86 μm、λ=632.8 nm为例，z_max ≈ 512 * (5.86e-6)² / 632.8e-9 ≈ 27.8 mm。

也就是说，上面这套参数只能传播不到3厘米。如果你要模拟光束传输20 cm甚至1 m，就必须增大网格尺寸或减小网格点数。更好的做法是加一个缩放网格的传播算法，比如两步角谱法或快速傅里叶分步法，否则远距离传播一定会发散或产生折叠伪影。

很多朋友说“仿真发散”，其实绝大多数情况不是物理发散，而是数值欠采样导致的频率混叠。光传着传着就从边界绕回来了，看起来像从四个方向往中心钻，那就是欠采样无疑了。

5.3 传播过程中涡旋结构的稳定性

用合适的参数跑一次传播，你会发现：涡旋光束在自由空间传播时，中心暗斑会一直保持。虽然暗斑的尺寸会随着光束衍射而增大，光强的空心轮廓也慢慢放大，但相位奇点和拓扑荷数不会消失。这就是涡旋光束最迷人的地方——拓扑荷是拓扑保护的，只要没有扰动破坏相位奇点，它就一直在。

我常用一个循环来观察不同距离处的光强和相位：

zlist = [0, 10e-3, 20e-3, 30e-3]; figure; for m = 1:4 Ez = angular_spectrum(E, L, lambda, zlist(m)); subplot(2, 4, m); imagesc(x*1e3, x*1e3, abs(Ez).^2); axis image; colormap(gca, 'hot'); title(['z = ', num2str(zlist(m)*1e3), ' mm']); subplot(2, 4, m+4); imagesc(x*1e3, x*1e3, mod(angle(Ez), 2*pi)); axis image; colormap(gca, 'hsv'); end

这个方法可以直观地看到涡旋光束的衍射行为。我建议大家都跑一遍这个程序，它对建立“光束如何传播”的空间感帮助非常大。

6. 高阶涡旋、叠加态与更多花样

6.1 增大拓扑荷数 l：光强环会变大吗

同样的束腰w0下，增大拓扑荷数l会发生什么？从复振幅公式可以看到，(√2 r / w0)^|l|这一项让中心区域的光强更早趋于零，所以暗核半径会变大。具体来说，p=0的LG束光强极大值位置大约在：

r_peak = w0 * sqrt(|l| / 2)

所以l=1时，亮环半径约0.707w0；l=2时约w0；l=3时约1.225w0。这个公式可以用来快速估算高阶涡旋的光斑大小。

相位图上的变化更明显：l越大，螺旋臂越多，相位跳变线也越多。画出来的干涉图样，叉形条纹的分叉数也会按l值增加。

6.2 共轴叠加与涡旋劈裂

涡旋光束叠加是OAM复用和模式分析的基础。把两个拓扑荷不同的涡旋光直接复振幅相加：

l1 = 1; l2 = 2; E1 = (sqrt(2)*R/w0).^abs(l1) .* exp(-R.^2/w0^2) .* exp(1i*l1*Phi); E2 = (sqrt(2)*R/w0).^abs(l2) .* exp(-R.^2/w0^2) .* exp(1i*l2*Phi); E_sum = E1 + E2;

共轴叠加后的光强会出现方位角上的花瓣结构。比如l1=1和l2=-1的叠加，因为交叉项中有cos(2φ)，光强呈对称的双瓣或四瓣结构，中间可能还会出现额外的涡旋位错。相位图上可以看到多个相位奇点对，这些奇点成对出现或消失，是涡旋光场中非常有趣的动力学现象。

两个涡旋如果横向错开一定距离再叠加，光强图上可以看到两个暗核，相位图上对应两个相位奇点。随着横向位移增加，暗核也会分开得更明显。这个仿真对理解涡旋光场的拓扑结构和奇点演化学非常有用。

6.3 径向指数 p 与多环结构

拉盖尔-高斯光束除了拓扑荷l，还有径向指数p。p=0是单环，p=1、p=2时会出现多个同心亮环，环与环之间是径向暗线。p越大，环数越多，光场分布越复杂。

用前面写的assoc_laguerre递推函数，把p设成1或2就能轻松观察多环结构。这类光束在粒子囚禁和超分辨成像实验中有实际用途，模型本身也非常适合入门练习。

7. 仿真踩坑记录：这些错误我几乎每次都遇到

7.1 相位图显示“毛玻璃”效果

第一次画相位图时，如果直接用imagesc(angle(E))，你会看到很多细碎的跳变线，像毛玻璃一样，完全看不出螺旋结构。这不代表光场有问题，而是因为angle返回的相位被包裹在[-π, π]里，螺旋相位每绕一圈就跳变一次。

解决方法是用mod(angle(E), 2*pi)，把范围改到[0, 2π]，视觉上跳变从一条密线变成一条干净的“色带边界”。如果连这条边界都不想看到，可以做相位解包裹，但Matlab自带的unwrap只能沿一个方向解包，对二维螺旋效果一般。我通常在演示代码里直接用mod，简单且足够直观。

7.2 传播后图样紊乱或从边界“绕回来”

前面提到过，传播距离超出采样条件后，角谱法结果会出现混叠。判断标准是输出光场边缘是否出现高强度的重复结构。如果有，说明频率域采样不足。

处理办法有三个：

• 增大网格点数N，不要觉得512就够了，传播距离长时用1024甚至2048很正常；
• 减小最大传播距离；
• 改用缩放网格算法，比如chirp z变换或两步角谱法。

最简单粗暴的方法是直接减小dx、增大L并同时增大N，但这样内存占用会明显上升，毕竟三维矩阵在Matlab里并不便宜。我实际操作中会先用512点跑通逻辑，再根据传播距离调大N。

7.3 中心暗斑没有出现或光强溢出

如果构造涡旋光束后，光强图中心并没有暗斑，最常见的原因是l设成了0，只是普通高斯光束。另一个可能是(R.^abs(l))这一项在原点为0，但整个网格分辨率太低，暗核半径小于一个像素，看起来就像没有暗斑。解决办法是增大N或增大l的值，让暗核至少覆盖2到3个像素。

光强溢出一般是因为没有归一化。构造E时，exp(-R.^2/w0^2)把幅度限制在1以内，所以光强峰值最多是1，不太容易溢出。但如果你把多个模式叠加，比如l从-3到3共7个模式全加起来，峰值可能达到7，画图时白花花一片。这时需要做归一化，比如E = E / max(abs(E(:)))，或者把光强图用caxis限制显示范围。

7.4 干涉条纹没分叉或对比度太低

干涉条纹没分叉，通常不是涡旋光的问题，而是参考光设置不对。参考光横向波矢kx太小，条纹间距太大，整个光斑内只有一两根条纹，分叉特征显示不出来。把倾斜角θ调大一些，或者直接减小参考光波长与光斑尺寸的比值，都能改善。

对比度低则往往是因为涡旋光和参考光的振幅相差太大。比如涡旋光中心暗，边缘亮，参考光振幅取1，叠加后交叉项的调制深度被淹没。我把参考光振幅调成与涡旋光峰值振幅同一量级，干涉条纹立刻清晰许多。

7.5 常见问题汇总表

结尾的一些实际操作体会

这套仿真流程我自己反复用过很多次，从最基本的拉盖尔-高斯光束，到干涉图样，再到传播演化，每次跑通都有新的理解。最想提醒你的是：不要一口气追求复杂功能，先把l=1、p=0的单涡旋在z=0处的光强和相位搞清楚，再逐步加干涉、加传播、加高阶项。涡旋光束的物理图像，很大程度上是靠这一步步的仿真建立起来的。

我个人比较推荐的一个练习是：用Matlab生成一个l=3的涡旋光束，仿真它与平面波干涉的叉形条纹，然后把图存下来对比实验室里空间光调制器产生的实验结果。你会发现，最重要的差异往往不在叉形条纹本身，而在背景噪声、光斑对称性和条纹衬比度，这些细节会促使你回头修正仿真参数，也让你对光路调校有更具体的感知。

如果你已经跑通了这些基础内容，后面可以试着仿真分数阶涡旋光束（拓扑荷是非整数）、偏振涡旋（矢量光束）、或者用角谱法模拟涡旋光束通过薄透镜的聚焦过程。每往前迈一步，都会有新的坑和新的乐趣。