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💥第一部分——内容介绍

摘要

针对内置式永磁同步电机在宽转速范围内的高效运行需求，本文研究了一种将最大转矩电流比控制与直接公式法弱磁控制相结合的分区控制策略。该策略以端电压是否达到逆变器线性调制上限作为模式切换判据：在电压未饱和的恒转矩区采用基于拉格朗日乘子法推导的MTPA电流分配方案，在电压达到限幅值后切换至基于电压极限椭圆解析的直接公式法弱磁控制。基于MATLAB/Simulink搭建了转速-电流双闭环矢量控制仿真模型，分别设置了转速阶跃（2500 r/min至6000 r/min）和负载阶跃（0至1 N·m）工况。仿真结果表明，d-q轴电流响应稳定，模式切换过程中电磁转矩和转速过渡平滑，所提融合策略在宽速域内具有良好的动态性能和控制精度。本文的研究为永磁同步电机全速域控制系统的工程实现提供了理论依据和仿真验证参考。

关键词：永磁同步电机；最大转矩电流比；弱磁控制；直接公式法；矢量控制；仿真

1 引言

1.1 研究背景

永磁同步电机因其高功率密度、高效率和高转矩惯量比等优势，在电动汽车、工业伺服和轨道交通牵引领域获得了广泛应用。与异步电机相比，永磁同步电机无需励磁电流，转子磁场由永磁体提供，因而在相同体积下能够输出更大的转矩，且效率更高。然而，受逆变器直流母线电压的限制，电机在基速以上运行时反电动势逼近电压极限，若继续采用低速区的电流分配策略，电流控制器将因电压饱和而失去调节能力，导致实际转矩急剧下降，严重时甚至无法维持转速指令的跟踪。

因此，如何在宽转速范围内合理分配d轴和q轴电流，成为电机控制系统的核心问题。这一问题的本质是在电流极限和电压极限的双重约束下，寻求转矩输出能力与运行效率之间的最优平衡。

1.2 MTPA控制的研究现状

在恒转矩区，内置式永磁同步电机由于交直轴电感不等，利用凸极效应产生的磁阻转矩可以显著提升转矩输出能力。最大转矩电流比控制正是基于这一原理，在给定转矩需求下寻求最小的定子电流幅值，从而降低铜耗、提升效率。MTPA控制的实现方法主要包括查表法、在线搜索法和解析法三类。查表法预先将不同转矩下的最优电流组合存入控制器内存，运行时直接查表获取，响应速度快但对参数变化敏感；在线搜索法通过实时扰动电流指令并观测电流幅值变化来逼近最优点，鲁棒性较强但收敛速度较慢；解析法则通过数学推导直接给出d轴和q轴电流的函数关系，兼顾了精度和速度。

在解析法的推导中，拉格朗日乘子法是最常用的数学工具。通过构造辅助函数并求取极值条件，可以消去乘子得到d轴电流关于q轴电流的显式表达式。该表达式物理意义明确，便于在嵌入式系统中实现。

1.3 弱磁控制的研究现状

在恒功率区，需要通过施加负向d轴电流来削弱永磁体磁链，使电压极限椭圆在电流平面上收缩的过程中仍能覆盖工作点，从而实现转速的进一步扩展。MTPA控制与弱磁控制的分区融合，成为实现全速域高效运行的主流方案。

弱磁控制方法可分为反馈法和公式法两类。反馈法通过电压外环的PI调节器动态生成d轴补偿电流，结构简单但参数整定较为依赖经验，且在电压饱和深度较大时容易出现积分饱和现象。公式法则基于电压极限方程和电流极限方程直接解析计算d轴弱磁电流，物理意义明确、响应速度快，且不存在积分饱和问题。公式法的核心思想是将电压约束条件取等号，结合q轴电流指令反解出满足电压极限的d轴电流值。根据是否考虑定子电阻压降，公式法又可分为简化形式和完整形式，前者适用于中高速区域，后者在低速重载工况下精度更高。

1.4 本文主要工作

本文采用公式法实现弱磁区的电流分配，以端电压幅值是否达到逆变器线性调制极限作为MTPA与弱磁的模式切换判据，构建转速-电流双闭环控制仿真模型，并通过阶跃工况验证控制效果。全文结构如下：第二节建立永磁同步电机的数学模型并分析电流和电压约束；第三节详细阐述MTPA的拉格朗日乘子法推导过程和直接公式法弱磁的计算原理；第四节介绍仿真模型的结构和工况设置；第五节从电流、转矩和转速三个维度分析仿真结果；第六节给出结论和后续工作展望。

2 永磁同步电机数学模型与控制约束

2.1 旋转坐标系下的电机模型

内置式永磁同步电机在d-q旋转坐标系下的定子电压方程描述了定子电阻压降、电感感应压降和旋转反电动势三者之间的平衡关系。其中，d轴电压方程包含定子电阻压降、d轴电流的微分项以及由q轴电流和电角速度耦合产生的旋转项；q轴电压方程则包含定子电阻压降、q轴电流微分项以及由d轴电流和永磁磁链共同产生的旋转反电动势项。

在稳态分析中，忽略电流的微分项，电压方程可简化为代数形式。此时，d轴电压主要由定子电阻压降和q轴电流的耦合项决定，q轴电压则由定子电阻压降和永磁磁链及d轴电流产生的反电动势决定。这一简化对于分析电压极限约束和弱磁控制策略是合理且常用的。

电磁转矩方程包含两项贡献：第一项为永磁转矩，由永磁体磁链与q轴电流的乘积决定；第二项为磁阻转矩，由交直轴电感差与d轴、q轴电流乘积决定。对于内置式电机，直轴电感小于交轴电感，当d轴电流为负值时磁阻转矩为正，这是MTPA控制能够减少定子电流的物理基础。表贴式电机的交直轴电感近似相等，磁阻转矩可忽略，MTPA退化为d轴电流为零的控制方式。

2.2 电流极限与电压极限约束

受逆变器容量限制，定子电流幅值不能超过最大值。该约束在电流平面上表现为一个圆心在原点的圆，圆的半径由逆变器的最大输出电流决定。在实际控制中，电流极限圆的存在意味着d轴和q轴电流不能同时无限增大，弱磁过程中增大d轴去磁电流必然要以牺牲q轴转矩电流为代价。

受直流母线电压限制，定子电压幅值不能超过线性调制区的最大值。对于采用空间矢量脉宽调制的逆变器，线性调制区的电压上限与直流母线电压成正比。在高速下忽略定子电阻压降，电压约束可近似为一个椭圆方程。该椭圆的中心位于电流平面上的负d轴方向，随着转速的升高，椭圆的长短轴按转速的反比比例收缩，可用工作区域不断缩小。

电压极限椭圆和电流极限圆的交点决定了电机在当前转速下能够输出的最大转矩。当转速较低时，电压极限椭圆较大，电流极限圆是主要约束；当转速升高至电压极限椭圆与电流极限圆相切时，对应的转速即为基速；转速继续升高后，电压极限椭圆进一步收缩，工作点被限制在椭圆与圆的交集区域内，转矩输出能力随之下降。

2.3 约束条件对控制策略的影响

电流极限和电压极限的共同作用，将电机的运行区域划分为恒转矩区和恒功率区。在恒转矩区，电压约束尚未起作用，电流极限是唯一约束，此时以MTPA为最优策略，在满足转矩需求的前提下最小化定子电流。在恒功率区，电压约束成为主导，必须通过弱磁来维持高速运行，此时以电压极限椭圆上的工作点为最优策略，在满足电压约束的前提下最大化转矩输出。

两个区域之间的过渡点即为基速点，该点同时满足MTPA轨迹和电压极限椭圆的约束。模式切换的准确性和平滑性直接影响到电机在宽速域内的动态性能。

3 MTPA与直接公式法弱磁的分区控制

3.1 基于拉格朗日乘子法的MTPA电流推导

MTPA控制的目标是在满足转矩方程约束的前提下最小化定子电流幅值，这在数学上是一个典型的条件极值问题。求解该问题的基本思路是引入拉格朗日乘子，将约束优化问题转化为无约束优化问题。

具体而言，构造拉格朗日函数，将定子电流幅值的平方作为目标函数，将转矩方程作为约束条件，乘以乘子后与目标函数相加。随后分别对d轴电流、q轴电流和乘子求偏导数，并令其为零，得到三个方程组成的方程组。通过消去乘子，可以得到d轴电流与q轴电流之间的函数关系。

由于内置式电机满足直轴电感小于交轴电感的条件，该关系式给出的d轴电流始终为负值，符合MTPA的物理特性。从物理意义上理解，负的d轴电流产生去磁效应，降低了气隙磁场的饱和程度，使得q轴电流能够产生更大的转矩，同时磁阻转矩分量也为正值，共同贡献于电磁转矩。

在实际控制中，通常以转矩指令或q轴电流指令为输入，通过该关系式计算对应的d轴电流参考值。为便于嵌入式实现，该表达式亦可近似简化为关于q轴电流的二次关系，但本文仿真中直接采用完整解析式以保证精度。值得注意的是，当q轴电流为零时，MTPA关系式给出的d轴电流也为零，这与空载时不需要去磁的物理直觉一致。

3.2 直接公式法弱磁控制

当转速升高至端电压达到逆变器限幅值时，MTPA轨迹上的工作点将越过电压极限椭圆边界，此时需要进入弱磁控制模式。直接公式法的核心思路是：将电压约束条件取等号，即令电压极限椭圆方程严格成立，结合转矩或q轴电流指令直接解算d轴弱磁电流。

在忽略定子电阻压降的条件下，电压极限椭圆方程取等号后可改写为d轴电流的显式表达式。该表达式中，根号项反映了电压极限椭圆对q轴电流的约束，当q轴电流增大时，根号内的值减小，d轴电流的幅值相应变化。由于直轴电感小于交轴电感，为保证根号内非负，q轴电流的取值需满足一定的上限。随着转速升高，该上限逐渐减小，意味着弱磁区中q轴电流必须相应降低，这反映了恒功率区的转矩下降特性。

当q轴电流较小时，根号项起主导作用，d轴电流为负值，施加去磁效果。在理论极限情况下，当转速趋于无穷时，d轴电流趋于一个由永磁磁链和直轴电感决定的极限值，此时永磁磁链被完全抵消。实际控制中需限制d轴电流不低于负的电流极限值，并同时满足电流极限圆约束。

直接公式法的优势在于计算量小、响应速度快，且不依赖电压外环的积分调节，避免了积分饱和问题。其局限性在于对电机参数的准确性有一定依赖，当电感参数因磁饱和而发生偏移时，计算出的弱磁电流可能存在偏差。在实际工程中，可通过参数辨识或在线查表的方式加以补偿。

3.3 模式切换判据

分区控制的关键在于切换判据的选取。本文以端电压幅值与限幅值的比较作为切换条件。当端电压幅值小于等于限幅值时，电压未饱和，MTPA控制有效，d轴电流按MTPA关系式给出；当端电压幅值大于限幅值时，电压达到限幅，切换至弱磁模式，d轴电流按直接公式法计算。

为避免电压测量噪声或瞬时波动导致的频繁切换，可在切换判据中引入小幅滞环或低通滤波。在仿真环境中，由于采用理想逆变器模型，直接比较即可获得清晰的切换行为。在实际工程中，还需考虑电压重构精度和采样延迟的影响。

切换判据的合理性在于：端电压幅值直接反映了逆变器的调制深度，当调制深度达到线性区上限时，意味着电流控制器已无额外的电压裕量来调节电流，此时必须通过弱磁来降低反电动势需求。以电压为判据相比以转速为判据的优势在于，前者自动适应了负载变化和母线电压波动的影响，具有更强的鲁棒性。

3.4 分区控制的整体架构

将MTPA和弱磁控制整合为一个完整的控制架构，需要解决以下几个问题：第一，如何根据运行状态选择正确的d轴电流参考值；第二，如何保证切换过程中的电流和转矩平滑；第三，如何在电流极限和电压极限同时作用下进行合理的限幅。

针对第一个问题，本文采用基于端电压幅值的切换开关，实时比较电压幅值与限幅值，选择MTPA计算值或弱磁计算值作为d轴电流参考。针对第二个问题，可在切换点附近对d轴电流参考值进行速率限制或一阶滤波，避免阶跃变化引起的转矩冲击。针对第三个问题，在电流指令输出前加入幅值饱和环节，同时保证d轴和q轴电流的合成矢量不超过电流极限圆。

4 仿真模型与工况设置

4.1 控制系统结构

仿真模型采用经典的转速-电流双闭环矢量控制架构。外环为转速环，PI调节器根据转速误差输出q轴电流参考值；内环包含d轴和q轴两个电流PI调节器，分别跟踪d轴和q轴电流参考值。电流调节器输出的电压指令经Park逆变换和SVPWM模块生成开关信号驱动逆变器。

转速环的输出同时被送入MTPA计算模块和电压判据模块。MTPA模块根据第三节推导的关系式计算d轴电流参考值；弱磁模块根据电压极限椭圆方程计算d轴弱磁电流参考值。切换开关根据实时计算的端电压幅值选择输出MTPA值或弱磁值作为d轴电流参考值。为保障电流限幅，在电流指令输出前加入幅值饱和环节。

转速环和电流环的带宽设计遵循分离原则，通常电流环带宽为转速环带宽的五至十倍，以保证内外环之间的动态解耦。电流环PI参数根据电机定子电阻和电感参数进行整定，转速环PI参数则根据转动惯量和转矩系数进行整定。

4.2 电机与逆变器参数

仿真中电机参数设置为：定子电阻、直轴电感、交轴电感、永磁磁链和极对数均根据实际电机标称值设定。直流母线电压和SVPWM线性调制区上限根据基速要求确定，确保基速点位于2500 r/min至6000 r/min之间，以便在转速阶跃工况中触发弱磁切换。

逆变器模型采用理想开关模型，忽略开关损耗和死区效应。SVPWM模块实现标准的七段式调制，输出频率与开关频率一致。电流采样和电压重构均假设为理想情况，不考虑采样噪声和延迟。

4.3 工况设置

为验证控制策略在动态过程中的有效性，设置如下工况：

转速工况方面，初始转速指令为2500 r/min，在0.1 s时刻阶跃至6000 r/min。该转速跨越了基速点，预期将触发MTPA至弱磁的模式切换。2500 r/min对应恒转矩区运行，6000 r/min对应恒功率区运行，两者之间的过渡过程能够充分检验切换逻辑的有效性。

负载工况方面，初始负载转矩为零，在0.2 s时刻突加1 N·m负载转矩。该工况用于检验转速闭环在负载扰动下的抗扰能力和转矩响应特性。负载阶跃发生在弱磁区内，能够同时检验弱磁控制对负载变化的适应能力。

5 仿真结果分析

仿真总时长为0.3 s。以下从电流响应、转矩响应和转速响应三个维度分析控制效果。

5.1 d-q轴电流响应

在0至0.1 s期间，转速指令为2500 r/min，端电压未达到限幅值，系统运行于MTPA模式。d轴电流为负值，其幅值由q轴电流通过MTPA关系式确定。空载条件下q轴电流较小，因此d轴电流的绝对值也较小，仅需施加轻微的去磁即可获得最优效率。

0.1 s时刻转速指令阶跃至6000 r/min，转速调节器输出较大的q轴电流参考值以加速电机。随着转速上升，反电动势增大，端电压逼近限幅值。当电压判据触发后，d轴电流参考值从MTPA计算值切换至弱磁公式计算值，d轴电流的负向幅值显著增大，以削弱气隙磁场、抑制反电动势增长。这一过程体现了弱磁控制的本质：通过牺牲一部分永磁转矩来换取转速的进一步提升。

0.2 s时刻突加1 N·m负载，转速短暂下降后由PI调节器恢复。负载增加导致q轴电流上升，在弱磁区中，根据直接公式法，d轴电流的幅值会随q轴电流增大而有所调整，以维持电压极限椭圆上的工作点。整个过程中，d轴和q轴电流的响应曲线平滑，未见明显的振荡或跳变，表明模式切换逻辑和电流环参数整定合理。

从电流轨迹的角度看，工作点在电流平面上从MTPA曲线逐渐过渡到电压极限椭圆边界，过渡过程连续且无突变，说明切换判据的设计是成功的。

5.2 电磁转矩响应

0至0.1 s阶段，电机空载运行，电磁转矩主要用于克服摩擦和加速过程中的惯性转矩，幅值较小。0.1 s转速阶跃后，转矩迅速上升以提供加速转矩，随后随着转速趋于稳定而回落至较小值。

在MTPA与弱磁的切换瞬间，由于d轴电流参考值发生切换，电磁转矩中的磁阻转矩分量会出现小幅变化。从仿真结果看，该过渡过程较为平滑，未出现明显的转矩冲击。这得益于电压判据的准确性和电流环的快速跟踪能力。若切换判据设置不当或电流环带宽不足，可能在切换点附近产生转矩脉动，影响乘坐舒适性或加工精度。

0.2 s负载阶跃后，电磁转矩迅速上升至约1 N·m以平衡负载，响应时间在毫秒级，体现了电流内环的良好动态性能。转矩上升过程中未见明显超调，说明电流环的阻尼设计合理。

5.3 转速响应

0至0.1 s，转速稳定跟踪2500 r/min指令，稳态误差可忽略。0.1 s阶跃至6000 r/min后，转速以受控速率上升，经过短暂调节后稳定在6000 r/min。值得注意的是，若采用纯MTPA控制而不进行弱磁，电机在接近基速时电压饱和，实际转速将远低于6000 r/min指令，且电流控制器饱和后会导致系统失控。本文的融合策略成功突破了这一限制，验证了弱磁控制的必要性。

0.2 s突加负载时，转速出现短暂下跌，随后在转速环PI调节器作用下恢复至6000 r/min。恢复过程平稳，超调量可控，表明转速环带宽与电流环带宽的分离设计合理。负载扰动下的转速恢复时间与转速环带宽直接相关，带宽越高恢复越快，但过高的带宽可能导致系统对噪声敏感，需要在动态性能和鲁棒性之间折中。

综合三组响应曲线，可以得出结论：所采用的MTPA与直接公式法弱磁融合策略能够在转速阶跃和负载阶跃的双重动态工况下，保持d-q轴电流、电磁转矩和转速的稳定响应，验证了控制方案的有效性。

5.4 模式切换过程分析

为进一步评估切换过程的品质，对0.1 s至0.15 s期间的电压幅值、d轴电流和转矩进行细致分析。电压幅值在转速上升过程中逐渐增大，当达到限幅值时切换开关动作，d轴电流参考值从较小的MTPA值跳变为较大的弱磁值。由于电流环的惯性，实际d轴电流需要一定时间跟踪新的参考值，在此期间q轴电流也相应调整，以维持转矩平衡。

切换过程中，电压幅值被限制在限幅值附近，未出现明显的过冲或振荡，说明弱磁公式计算的d轴电流恰好能够将电压约束在极限值。若弱磁电流计算偏小，电压将超过限幅值，电流环饱和；若计算偏大，则会造成不必要的去磁，降低效率。仿真结果表明，本文采用的公式法能够准确计算出所需的弱磁电流。

6 结论

本文研究了内置式永磁同步电机的MTPA与直接公式法弱磁融合控制策略，并通过MATLAB/Simulink仿真验证了其动态性能。主要结论如下：

第一，基于拉格朗日乘子法推导的MTPA电流关系式物理意义明确，能够在恒转矩区实现单位电流最大转矩输出，有利于降低铜耗、提升效率。

第二，直接公式法弱磁控制以电压极限椭圆方程为基础，解析计算d轴去磁电流，响应速度快、实现简单，适合嵌入式部署。与反馈法相比，公式法不存在积分饱和问题，在深度弱磁区仍能保持良好的控制精度。

第三，以端电压幅值是否达到逆变器限幅值作为切换判据，逻辑清晰，能够自动适应负载变化和母线电压波动的影响。在转速跨越基速的仿真中实现了MTPA至弱磁的平滑过渡，未出现明显的转矩冲击。

第四，在转速阶跃（2500至6000 r/min）和负载阶跃（0至1 N·m）工况下，d-q轴电流、电磁转矩和转速均表现出良好的稳定性和动态响应品质，验证了融合策略在宽速域内的有效性。

后续工作可从以下几个方面展开：一是考虑电机参数变化（如磁饱和引起的电感变化和永磁体温度引起的磁链变化）对MTPA和弱磁计算精度的影响，并在公式法弱磁中引入参数鲁棒性补偿；二是研究切换判据的优化设计，引入滞环或预测控制以进一步抑制切换过程中的转矩脉动；三是将仿真模型扩展至实际硬件平台，验证算法在采样噪声、死区效应和参数偏差等非理想因素下的鲁棒性；四是探索将模型预测控制等先进控制方法引入MTPA和弱磁的分区控制中，以进一步提升动态性能和效率。

📚第二部分——运行结果

永磁同步电机MTPA+弱磁控制+直接公式法+最大转矩控制Matlab仿真（带参考资料）

🎉第三部分——参考文献

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