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矩阵这种东西，工作时最烦的就是遇到“不可逆”。刚开始干活那几年，我一看到pinv这个函数就觉得它是个“凑合用的逆”，后来被各种病态问题折磨过几轮，才真正意识到 Moore-Penrose 广义逆（也常称为加号广义逆、伪逆，记作 $A^{+}$）才是线性代数里最被低估的工具之一。这篇文章我不打算念念教材，而是把 $A^{+}$ 的定义、四条核心条件、唯一性直觉、怎么算、以及实际项目中容易踩的坑，完整拆一遍。

不管你是做数据分析、控制、图像、机器学习，还是单纯被矩阵论折磨，理解 $A^{+}$ 都能让你在面对“不可逆矩阵”时多一张底牌。它不是万能的，但在绝大多数需要“最小二乘解”或“最小范数解”的场合，它都是那个正确的默认选择。

1. 背景：为什么我们反复需要“一个并不存在的逆”

先从一个几乎人人都遇到过的场景说起。解线性方程组 $Ax = b$ 的时候，如果 $A$ 是方阵且可逆，直接写 $x = A^{-1}b$ 就结束了。可是现实里哪有这么便宜的事：要么 $A$ 是 $m\times n$、$m\ne n$ 的长条矩阵，要么 $A$ 方方正正但行列式为零——缺秩。很多教材在这里给出的答案是“此路不通”，但工程问题不会因为矩阵“不可逆”就停止向你要结果。你必须有一个“尽量像逆、但又在退化方向上让步”的东西，这正是 Moore-Penrose 广义逆存在的理由。

1.1 三种让你写不出“$A^{-1}$”的情况

先给矩阵“把把脉”。设 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，左侧代表方程个数，右侧代表未知量个数。

• $m=n$ 且 $\det A\ne 0$：天下太平，唯一解 $x=A^{-1}b$。
• $m>n$：超定方程组，方程的数量比未知数多。系统往往没有严格解，只能找一个让残差 $|Ax-b|$ 尽量小的“妥协解”。
• $m<n$：欠定方程组，未知数的数量比方程多。解有无穷多个，精确的“那一个解”根本不存在，我们还要额外加一条标准，比如找范数最小的那个。

第二和第三种情况都有一个共同点：它们都不是“真正的可逆系统”，但你仍然希望用一个统一的框架去处理。Moore-Penrose 广义逆恰好就长在这个框架上。它不要求 $A$ 是方阵，不要求满秩，任何实矩阵或复矩阵都能算出 $A^{+}$。这个“什么矩阵都定义得出来”的性质，是它成为诸多算法底层标配的根本原因。

1.2 核心思想：在“有用的方向上做逆，在退化方向上清零”

我在给新人讲 $A^{+}$ 时，最喜欢用投影来比喻。方块矩阵可逆时，$A^{-1}$ 把“像空间”的每一个向量毫无损失地映射回“定义域”。缺秩或非方阵时，$A$ 不再是一对一的满射，这时候强行求逆，就会在没定义清楚的方向上“瞎猜”。

$A^{+}$ 的做法非常朴素：把整个空间拆成两部分——一部分是“$A$ 能好好作用的方向”，另一部分是“$A$ 直接压扁掉的方向”。在能好好作用的方向上，$A^{+}$ 老老实实做逆；在被压扁的方向上，$A^{+}$ 干脆置零。用数学家的话说，$A^{+}$ 在 $A$ 的值域 ${\rm Im}(A)$ 上与 $A$ 互为逆，在 ${\rm Im}(A)$ 的正交补上为零。这一条简单的准则，就是后面所有性质的源头。

顺便说一句历史。这个概念最早可以追溯到 Moore 在 1920 年前后的工作，后来 Penrose 在 1955 年独立给出了我们现在常用的四条公理式定义。正因为 Penrose 把这四条条件写得这么干净，后世才把它命名为 Moore-Penrose 广义逆。你写代码时调用pinv或pinv的实现，背后基本都能溯源到 Penrose 的这套框架。

2. 四条件定义：Moore-Penrose 逆的“身份证”

2.1 Penrose 四条等式

给定实矩阵 $A$（复矩阵只要把转置换成共轭转置 $A^{*}$，其余逻辑完全一样），满足下面四个条件的矩阵 $X$ 称为 $A$ 的 Moore-Penrose 广义逆：

1. $AXA = A$；
2. $XAX = X$；
3. $(AX)^{T} = AX$；
4. $(XA)^{T} = XA$。

这四条叫 Penrose 条件。满足这四个条件的矩阵 $X$ 存在且唯一，记作 $A^{+}$。注意：如果只满足其中部分条件，得到的矩阵就不唯一，统称为广义逆，比如满足 (1) 的叫内逆或“${1}$-逆”，满足 (1)(2) 的叫自反广义逆。我们在实际中用到的几乎都是完整满足四条的那个唯一对象。

提示：这里默认矩阵是实的，所以转置用 $(\cdot)^{T}$；如果是复数矩阵，所有转置都要换成共轭转置 $(\cdot)^{H}$ 或 $(\cdot)^{*}$，后面不再重复。

2.2 四条条件到底在说什么

刚接触这四条的人往往很晕：为什么偏偏是这四个，少一个行不行？我逐条说。

条件 (1) $AXA = A$ 是“逆”这个身份的最低要求。把它改写成 $A X A = A$，意思是在某些方向上 $X$“还原”了 $A$ 的行为：若 $y = Ax$，那么 $A X y = A X A x = A x = y$，也就是说 $AX$ 作用在 $A$ 的值域上时等于恒等。

条件 (2) $XAX = X$ 是对称地约束 $X$ 本身，保证 $XA$ 在 $X$ 的值域上也等于恒等。这两个条件合起来，已经让 $X$ 成为一个“代数上说得过去”的广义逆，但此时 $X$ 依然不唯一。

真正把唯一性锁死的是条件 (3) 和 (4)：它们要求 $AX$ 与 $XA$ 都是对称矩阵。于是 $AX$ 和 $XA$ 都成了正交投影矩阵，而不是乱七八糟的斜投影。几何上，$AA^{+}$ 是把空间投影到 ${\rm Im}(A)$ 的正交投影，$A^{+}A$ 是把空间投影到行空间 ${\rm Im}(A^{T})$ 的正交投影。正交投影意味着天然带有“垂线段最短”的优化属性，这正是后面解决最小二乘问题的关键。

2.3 存在性与唯一性的块状证明

回到为什么非用四条不可。我用一个技巧性不强但非常直接的证明来说明。假设 $A$ 的奇异值分解为 $A=U\Sigma V^{T}$，其中 $\Sigma$ 是一个“对角块”矩阵：

$$ \Sigma=\begin{pmatrix} \Sigma_r & 0\ 0 & 0 \end{pmatrix}_{m\times n},\qquad \Sigma_r=\mathrm{diag}(\sigma_1,\dots,\sigma_r),\ \sigma_i>0. $$

令 $X'=V^{T} X U$，把 $X'$ 按同样方式分块成 $\begin{pmatrix}X_{11} & X_{12}\ X_{21} & X_{22}\end{pmatrix}$。此时四个条件在正交基下等号不变，我们把它们全部翻译到分块上。

先看条件 (1) $\Sigma X'\Sigma=\Sigma$，左边只剩左上角一块 $\Sigma_r X_{11}\Sigma_r$，于是立刻得到 $X_{11}=\Sigma_r^{-1}$；条件 (3) 要求 $\Sigma X'$ 对称。$\Sigma X'=\begin{pmatrix}\Sigma_r X_{11} & \Sigma_r X_{12}\ 0 & 0\end{pmatrix}$，对称性让右上角必须等于左下角的转置，也就是 $\Sigma_rX_{12}=0$，所以 $X_{12}=0$。条件 (4) 类似地推出 $X_{21}=0$。条件 (2) $X'\Sigma X'=X'$ 再补上最后一块 $X_{22}$，最后只剩 $X_{22}=0$。

也就是说，在奇异值分解的坐标下，满足条件的矩阵必须长成这样：

$$ X'=\begin{pmatrix} \Sigma_r^{-1} & 0\ 0 & 0 \end{pmatrix}_{n\times m}. $$

于是 $X=V\begin{pmatrix}\Sigma_r^{-1} & 0\0 &0\end{pmatrix}U^{T}$ 唯一确定。同时我们反向把 $V\Sigma^{+}U^{T}$ 代入四个条件也都能满足，所以存在性和唯一性同时证毕。这个证明看起来是在走 SVD 的捷径，但它很能说明一个道理：$A^{+}$ 的所有性质，本质上都被奇异值分解控制住了。

3. 性质全景：从“正统逆”到“最优化解”

3.1 与普通逆、左逆、右逆的关系

如果 $A$ 本身可逆，$A^{+}$ 就是 $A^{-1}$。把 $A^{-1}$ 代入四个条件，一个不漏地成立；由于唯一性，$A^{+}=A^{-1}$。这说明 $A^{+}$ 是普通逆的推广，普通逆只是它的特例。

当矩阵不满秩但“有一侧信息是完整的”时，$A^{+}$ 还有更简洁的闭式：

• $A$ 列满秩（$m\ge n$ 且 ${\rm rank}(A)=n$）时，$A^{T}A$ 可逆，$A^{+}=(A^{T}A)^{-1}A^{T}$，也就是通常说的左逆。它在超定最小二乘中非常常见。
• $A$ 行满秩（$m\le n$ 且 ${\rm rank}(A)=m$）时，$AA^{T}$ 可逆，$A^{+}=A^{T}(AA^{T})^{-1}$，也就是右逆，常用于欠定问题。

这两个公式不要死记，记住它们来自“在对应方向上可逆”即可。如果左右都不满秩，就只能老老实实走 SVD 或迭代路线。

3.2 值域、零空间与投影关系

$A^{+}$ 对值域和零空间的刻画几乎是“教科书级”的：

$$ {\rm Im}(A^{+})={\rm Im}(A^{T}),\qquad {\rm Ker}(A^{+})={\rm Ker}(A^{T}). $$

更有用的是两个投影恒等式：

$$ AA^{+}=P_{{\rm Im}(A)},\qquad A^{+}A=P_{{\rm Im}(A^{T})}. $$

左边是到列空间的正交投影，右边是到行空间的正交投影。这两个等式意味着什么？意味着对任意 $b$，$AA^{+}b$ 就是 $b$ 在列空间上的正交投影。判断线性方程组 $Ax=b$ 是否有解，可以直接看 $AA^{+}b$ 是否等于 $b$；等于则有解，不等于则没有严格解，只能找最小二乘意义下的近似解。这种“用投影看解的存在性”的视角，在刚接触时觉得抽象，但用熟之后能省下大量纠结。

3.3 为什么 $A^{+}b$ 是最小二乘和最小范数的“双料冠军”

这是 $A^{+}$ 最吸引人的性质，也是它活跃在回归、控制、机器学习中的原因。考虑任意 $b$，定义 $x^{+}=A^{+}b$，那么：

• $x^{+}$ 是最小二乘解：$|Ax^{+}-b|_2 = \min_x |Ax-b|_2$；
• 在所有最小二乘解里，$x^{+}$ 的欧氏范数最小。

原因其实很直白。把方程组 $Ax=b$ 的解集写成 $x_{\rm particular} + {\rm Ker}(A)$，其中 $x_{\rm particular}$ 是任意一个特解。由于 $A^{+}b\in {\rm Im}(A^{+})={\rm Im}(A^{T})$，而 ${\rm Ker}(A)$ 与 ${\rm Im}(A^{T})$ 正交，所以 $x^{+}$ 自动与零空间正交；再加上它确实落在正确的仿射空间里，它就成了距离原点最近的解。这类解还被冠以“最小范数最小二乘解”（minimum-norm least-squares solution）的名字。很多书把这个性质写在很后面，但我建议你最先记住它，因为后面一堆应用都是围绕它展开的。

4. 怎么算：从 SVD 到手写实现

4.1 通用的 SVD 配方

$A^{+}$ 的通用算法几乎总是走奇异值分解。设 $A$ 的瘦 SVD（或者完整 SVD）为：

$$ A=U\Sigma V^{T}, $$

其中 $U$、$V$ 是正交矩阵，$\Sigma$ 是 $m\times n$ 的“对角矩阵”，对角线上的 $\sigma_i$ 按从大到小排列。那么：

$$ A^{+}=V\Sigma^{+}U^{T}, $$

这里的 $\Sigma^{+}$ 是一个 $n\times m$ 矩阵，做法只有一句话：把 $\Sigma$ 转置，然后把每个非零奇异值换成倒数，零保持为零。写成块状就是

$$ \Sigma=\begin{pmatrix} \Sigma_r & 0\ 0&0 \end{pmatrix} \Longrightarrow \Sigma^{+}=\begin{pmatrix} \Sigma_r^{-1} & 0\ 0&0 \end{pmatrix}. $$

为什么非零的要取倒数？在那些奇异值非零的方向上，$A$ 是可逆的；可是奇异值等于零的方向被压缩没了，你没法恢复那些信息，只能给零。这就呼应了第一节的几何思想：有用的方向做逆，退化方向清零。

4.2 实际写代码时的三个细节

我自己用 Python 给这类算法做实现时，有几个细节值得拿出来说。

第一，不要为满秩情况重复设计“自己的伪逆”。如果你的矩阵满足列满秩，直接解 $(A^{T}A + \lambda I)x = A^{T}b$ 或调用np.linalg.solve；不要算显式的 $(A^{T}A)^{-1}$。显式求逆会引入不必要的数值误差。只有当你明确需要得到 $A^{+}$ 这个矩阵本身，才用np.linalg.pinv(A)。

第二，np.linalg.pinv默认会做奇异值截断。它内部把小于max(shape) * eps * max_σ的奇异值直接当零处理。这个默认阈值在新手期够用，但在病态问题里，建议自己传入rtol。遇到矩阵条件数特别大但并非真正缺秩时，可能你想要保留一些特别小的奇异值，也可能你想截掉更多——这取决于你面对的应用，别一直沿用默认值。

第三，如果你基于 SVD 手动实现 $A^{+}$，绕不开的一步是判断哪些奇异值“足够大”。我自己习惯用比例而非绝对值：算σ_i / σ_max，小于某个阈值（比如 $10^{-12}$ 或 $10^{-14}$）就归零。绝对阈值在不同量纲的数据下会害死人。

4.3 欠定和超定问题的快速公式

如果不想调用通用伪逆，两个特殊场景有专门公式。

对于列满秩的超定问题，$\hat\beta=(X^{T}X)^{-1}X^{T}Y$ 是最小二乘解的核心；在实际回归中，我们通常不显式求逆，而是用 QR 分解解正规方程。对于行满秩的欠定问题，$A^{+}=A^{T}(AA^{T})^{-1}$，它在机器人逆运动学里非常常见，因为机器人雅可比矩阵 $J$ 是 $3\times n$ 或 $6\times n$，想要最小范数关节速度，用的就是 $J^{T}(JJ^{T})^{-1}$ 这类右逆。

到这里你会发现，这些特殊公式都只是 $A^{+}$ 在满秩退化情况下的特例。真正到了缺秩场景，公式没法用了，通用 SVD 才顶上。

5. 应用场景：从最小二乘回归到逆运动学

5.1 线性回归的“标准答案”其实是伪逆

先看最常规的例子。线性回归写成矩阵形式是 $Y=X\beta$，其中 $Y$ 是 $n$ 个观测值，$X$ 是 $n\times p$ 的设计矩阵。当 $p\le n$ 且 $X$ 满列秩时，教科书给你 $\hat\beta=(X^{T}X)^{-1}X^{T}Y$。而这个表达式正是 $X^{+}Y$。

有些教材把伪逆藏在最小二乘解背后，你完全没有意识到自己其实在用 $A^{+}$。更关键的是，当 $X$ 缺秩（比如特征之间有完美共线性）时，$(X^{T}X)^{-1}$ 已经不存在，但 $X^{+}Y$ 依然稳定地给出一个解——这个解不仅是残差最小的解，还是所有最小二乘解里范数最小的那个。所以很多现代机器学习库在做线性模型时，底层用的其实是伪逆而不是单纯记正规方程。

5.2 欠定系统：越少的信息越需要最小范数

欠定问题 $m<n$ 在现实中比想象中常见。比如机器人手臂要到达目标位置，关节数经常远大于末端自由度，雅可比矩阵是“宽”的；再比如多天线系统中的波束成形，测量维度小于待估参数。这些场景里解不唯一，额外要求“动作尽量小”或“能量尽量小”是很自然的工程诉求。用 $A^{+}$ 就天然得到范数最小的那个解，所以它成了这类问题的默认工具。

我做控制系统时经常遇到类似的取舍。给定一个 $Ax=b$，如果矩阵欠定，直接解一个带约束的最小化问题当然也行，但每次求解可能要多写几行优化代码；当问题规模很大、需要在循环里反复调用时，直接使用 $A^{+}$ 的闭式解往往比内点法快一个数量级。代价是它给出的只是最小范数这一特定角度的解，如果你需要的是“稀疏解”或“只有少数变量非零”，那 $A^{+}$ 就不是最优了。

5.3 其他领域的典型身影

$A^{+}$ 在信号处理、图像去模糊、控制理论里都有经典身影。图像去模糊中的伪逆滤波，本质上是把退化算子写成矩阵，再用伪逆去反演；系统辨识里，多输入多输出系统的“最速下降”型控制律也会用到广义逆。在很多被叫做“Inverse Problem”的领域里，第一步就是把算子离散化，第二步就是求伪逆或带正则化的伪逆，第三步才谈后续的约束条件。

下面给一个极小的实现片段，用来验证思想，也方便你复制到本地跑：

import numpy as np A = np.array([[1., 2.], [2., 4.], [3., 6.]]) Ap = np.linalg.pinv(A) print(Ap) # 验证四个条件 X = Ap print(np.allclose(A @ X @ A, A)) # 条件1 print(np.allclose(X @ A @ X, X)) # 条件2 print(np.allclose(A @ X, (A @ X).T)) # 条件3 print(np.allclose(X @ A, (X @ A).T)) # 条件4

这段代码的输出里会有四个True，说明np.linalg.pinv给出的确实是 Moore-Penrose 广义逆。自己手写 SVD 时，最常出错的地方就是 $\Sigma^{+}$ 的尺寸：好好核对是 $m\times n$ 还是 $n\times m$。

6. 一个完整的手算小案例

6.1 问题与 SVD 路径

我挑一个非常简单但能说明问题的矩阵，让你看清步骤，也方便你自己用手算一遍验证。

设

$$ A=\begin{pmatrix} 1 & 2\ 2 & 4\ 3 & 6 \end{pmatrix}. $$

这个矩阵第二列是第一列的 2 倍，所以秩为 1，既不是列满秩也不是行满秩，普通左逆右逆公式全部失效，只能用通用定义。先写成秩一分解：$A=u,v^{T}$，其中 $u=(1,2,3)^{T}$，$v=(1,2)^{T}$。这里注意 $u$ 是三维列向量，$v$ 是二维列向量，$uv^{T}$ 正好是一个 $3\times2$ 的秩一矩阵。$v$ 的范数是 $\sqrt{5}$，$u$ 的范数是 $\sqrt{14}$；$A$ 的奇异值 $\sigma_1 = |u||v| = \sqrt{70}$。于是

$$ A^{+}=\frac{1}{\sigma_1}\frac{v}{|v|}\frac{u^{T}}{|u|} =\frac{1}{\sqrt{70}}\frac{(1,2)}{\sqrt5}\frac{(1,2,3)}{\sqrt{14}} =\frac{1}{70}\begin{pmatrix} 1&2&3\ 2&4&6 \end{pmatrix}. $$

6.2 用 Penrose 条件验证

拿到这个结果，最稳妥的事就是代入四个条件验算。

先看 $A^{+}A$：

$$ A^{+}A=\frac{1}{70}\begin{pmatrix} 1&2&3\ 2&4&6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&2\ 2&4\ 3&6 \end{pmatrix} =\frac{1}{70}\begin{pmatrix} 14&28\ 28&56 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1/5&2/5\ 2/5&4/5 \end{pmatrix}. $$

它显然是对称的，而且满足 $(A^{+}A)^{2}=A^{+}A$，所以是正交投影。再看 $AA^{+}$：

$$ AA^{+} =\frac{1}{70}\begin{pmatrix} 1&2\ 2&4\ 3&6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&2&3\ 2&4&6 \end{pmatrix} =\frac{1}{70}\begin{pmatrix} 5&10&15\ 10&20&30\ 15&30&45 \end{pmatrix}. $$

也是一个对称幂等矩阵。条件 (1)(2) 也不难代入验证。四个条件成立，所以这个 $A^{+}$ 确实是唯一定义中的那个。

6.3 用这个结果解一个最小二乘问题

取 $b=(1,1,1)^{T}$，令

$$ x^{+}=A^{+}b=\frac{1}{70}\begin{pmatrix} 1&2&3\ 2&4&6 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\1\1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 6/70\12/70 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 3/35\6/35 \end{pmatrix}. $$

算一下残差 $Ax^{+}-b$。$Ax^{+}=\begin{pmatrix}3/35\cdot1+6/35\cdot2,\ 3/35\cdot2+6/35\cdot4,\ 3/35\cdot3+6/35\cdot6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}15/35,\ 30/35,\ 45/35\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3/7,\ 6/7,\ 9/7\end{pmatrix}$。残差为 $\begin{pmatrix}4/7,\ 1/7,\ -2/7\end{pmatrix}$，它与列空间 $\mathrm{span}{(1,2,3)^{T}}$ 做内积：

$$ \frac{4}{7}\cdot1+\frac{1}{7}\cdot2-\frac{2}{7}\cdot3=0. $$

残差垂直于列空间，这就是最小二乘解的正交性条件。同时，如果往 $x^{+}$ 上加上 ${\rm Ker}(A)$ 的任意非零向量，例如 $(-2,1)^{T}$，范数只会变大，所以 $x^{+}$ 确实是最小范数解。整个流程和理论完全对上了。

7. 常见问题与避坑指南

7.1 “为什么我的伪逆算出来巨大？”

这是我被问得最多的问题。多数时候不是实现错了，而是矩阵太接近缺秩。当矩阵最小奇异值很小但不为零，伪逆会把它放大成非常大的倒数；同时只要奇异值发生极小扰动，伪逆会发生剧烈变化。从数学上讲，矩阵到伪逆的映射在缺秩边界上不连续，这是数值上要不断小心的地方。

对策很直白：如果你的问题本质上病态，用截断奇异值（TSVD）或岭正则化。岭估计 $(\lambda I + A^{T}A)^{-1}A^{T}b$ 在 $\lambda$ 适当大时，数值表现会比直接使用 $A^{+}$ 稳得多。不要迷信“闭式解一定稳定”，在病态问题上闭式解就摔得越狠。

7.2 五个容易踩的坑

• 把 $(AB)^{+}=B^{+}A^{+}$ 当成恒等式。这个等式并不恒成立，只有当 $A$ 有正交列而 $B$ 有正交行等特殊条件下才成立。计算时别贪这条捷径。
• 复数矩阵忘掉共轭。Penrose 条件里的转置在复数域必须换成共轭转置 $A^{*}$，否则一定算出错。
• 拿伪逆硬套稀疏解。$A^{+}$ 给出的是最小范数意义上的解，如果你想找“只有少数分量非零”的解，请用 L1 正则化或匹配追踪。
• 在列满秩问题里显式求 $(A^{T}A)^{-1}$。先求逆再乘向量，数值误差通常比直接解线性方程组大得多。
• 忽略了伪逆对统计推断的影响。如果设计矩阵缺秩，伪逆给出的回归系数只是无穷多个最优解中的一个；它的可解释性不一定好，不要直接拿它解读系数。

7.3 快速自检：验证你的伪逆实现

每当我实现完一个pinv功能，都会用随机矩阵做一次批量化自检。流程是：生成随机矩阵 $A$，计算 $X=A^{+}$，然后用四个条件逐一验证np.allclose。这一步能过滤掉绝大多数转置写反、实复域搞错、尺寸算错的基础 bug。值得养成习惯。

提示：随机生成时别只用满秩矩阵，特意加上缺秩矩阵、长条矩阵、瘦高矩阵，覆盖全类型。这样自检才有效。

我在实际项目中还有个小偏好：当矩阵不是特别庞大时，我先用完全 SVD 做一遍，再用瘦 SVD 做一遍，对比结果。如果两种写法结果不一致，八成是 $\Sigma$ 的尺寸或零行零列的裁剪出了问题。这类错误在纸面上看不出来，一到真实数据就会变成莫名其妙的 NaN。

最后再分享一个很实用的习惯：遇到任何线性系统，先别急着直接解，花十秒钟看它的尺寸和秩。能分清楚“超定”“欠定”“方阵可逆”这三种情况，再决定用伪逆、QR 还是直接求逆，你会少走很多弯路。$A^{+}$ 是线性代数工具箱里最通用的万能钥匙，但用之前搞清楚锁的类型，才不会把钥匙拧断。