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1. 为什么电机控制工程师绕不开 IIR 滤波器

如果你正在做 FOC 或者准备上手高频注入，大概率已经在某个时刻被滤波器坑过。电流采样里混进了 PWM 开关噪声，速度环反馈抖得跟心电图一样，高频注入的响应信号被噪声淹没到根本提取不出来——这些问题最后都会指向同一个工具：IIR 数字滤波器。

IIR，全称 Infinite Impulse Response，无限冲击响应滤波器。名字听着唬人，但它的本质非常简单：当前的输出，不仅取决于当前和过去的输入，还取决于过去的输出。这个"输出反馈到输入"的结构，就是它和 FIR（有限冲击响应）最根本的区别。FIR 只吃输入，IIR 会"记住"自己之前的输出，所以它能用很低的阶数实现非常陡峭的截止特性。

在电机控制这个场景里，这件事意味着什么？意味着你可以在 STM32F103 这种资源紧张的芯片上，用几个乘加运算就跑出一个效果不错的低通滤波器，而不需要像 FIR 那样动辄几十个抽头。对于 FOC 的电流环，你的控制周期可能只有 50 微秒甚至更短，每个周期能留给滤波器的计算时间极其有限，IIR 的低计算量优势就体现出来了。

但 IIR 也不是没有代价。它的相位非线性、极点可能不稳定、系数量化敏感，这些问题在电机控制里都会被放大。我见过太多人从 MATLAB 里 filterDesigner 导出一组系数，直接塞进代码，结果电机一跑起来就啸叫或者震荡。问题往往不在系数本身，而在于没有理解 IIR 在 Z 平面上的行为，以及它和电机控制环路之间的相互作用。

这篇内容我会从 Z 平面讲起，把 IIR 的传递函数、极点零点分布讲清楚，然后落到低通和带通两种最常用的结构上，再具体到 FOC 电流环和速度环里怎么用，最后讲高频注入里 IIR 带通滤波器怎么帮你把转子位置信号从噪声里捞出来。全程会给出可以直接用的差分方程和 C 代码结构，也会分享一些我在实际项目里踩过的坑。

2. 从 Z 平面理解 IIR：极点、零点与稳定性

2.1 传递函数到底在描述什么

IIR 滤波器的通用传递函数长这样：

H(z) = (b0 + b1*z^-1 + b2*z^-2 + ... + bM*z^-M) / (1 + a1*z^-1 + a2*z^-2 + ... + aN*z^-N)

分子决定零点，分母决定极点。z^-1 在时域里就是"延迟一个采样周期"。所以这个式子在说：输出 y[n] 是当前输入 x[n] 和过去输入的加权和，减去过去输出的加权和。

写成差分方程更直观：

y[n] = b0*x[n] + b1*x[n-1] + ... - a1*y[n-1] - a2*y[n-2] - ...

注意分母的 a 系数前面是负号，因为移项到左边了。这个细节在写代码时特别容易搞错，我后面会专门讲。

2.2 极点在单位圆内意味着什么

Z 平面的单位圆是稳定性的分界线。所有极点必须严格在单位圆内，系统才稳定。极点越靠近单位圆，对应频率的增益越大，滤波器的选择性越强，但响应也越慢、越容易震荡。

举个实际例子。一个简单的一阶低通 IIR：

y[n] = alpha*x[n] + (1-alpha)*y[n-1]

它的极点在 z = 1-alpha。alpha 越小，极点越靠近 1，截止频率越低，滤波越狠，但相位滞后也越大。在 FOC 电流环里，如果你把 alpha 设成 0.01，截止频率可能只有几十赫兹，电流环带宽直接被拖垮，电机动态响应会变得极其迟钝。

我一般建议在电流环里，滤波器的截止频率至少是电流环带宽的 5 到 10 倍。比如电流环带宽 1kHz，滤波器截止频率设在 5kHz 以上。这样相位滞后在电流环带宽处只有几度，不会明显影响环路稳定性。

2.3 零点的作用：不只是"反极点"

零点影响的是滤波器的频率响应形状。在带通滤波器里，零点通常放在直流和奈奎斯特频率处，把这两个频段的增益压下去，只让中间某个频段通过。高频注入里用的带通滤波器，零点就负责把基波和低频噪声挡掉，极点负责在注入频率处形成峰值。

零点的位置也影响相位。一个零点在单位圆内，会提供超前相位；在单位圆外，提供滞后相位。设计时如果只盯着幅频响应看，忽略了相位，在闭环系统里很容易出问题。

2.4 双线性变换：从模拟到数字的桥梁

大部分 IIR 设计都是从模拟滤波器原型（巴特沃斯、切比雪夫等）出发，通过双线性变换映射到 Z 平面。双线性变换的公式是：

s = (2/T) * (1 - z^-1) / (1 + z^-1)

T 是采样周期。这个变换把模拟域的虚轴映射到 Z 平面的单位圆上，所以稳定性得以保持。但频率轴会被"压缩"，高频段非线性。实际设计时，截止频率需要做预畸变校正：

Omega_analog = (2/T) * tan(omega_digital * T / 2)

如果你直接用目标数字频率去设计模拟原型，实际截止频率会偏低。这个坑我在早期项目里踩过，设计了一个 1kHz 低通，实测截止频率只有 800Hz 左右，后来才发现是忘了预畸变。

3. 低通与带通：电机控制里最常用的两种 IIR 结构

3.1 一阶低通：简单但够用

一阶低通是电机控制里出现频率最高的 IIR。电流采样滤波、速度反馈滤波、电压输出滤波，到处都有它的影子。差分方程：

y[n] = alpha*x[n] + (1-alpha)*y[n-1]

alpha 和截止频率的关系：

alpha = 1 - exp(-2*pi*fc*T)

T 是采样周期，fc 是截止频率。当 fcT 很小时，可以近似为 alpha ≈ 2pifcT。

在 STM32F103 上，如果电流环 20kHz，想设 2kHz 截止频率：

alpha = 2 * 3.14159 * 2000 / 20000 = 0.628

这个值不算小，滤波效果有限，但相位滞后也小。如果你想要更强的滤波，把 fc 降到 500Hz，alpha 变成 0.157，滤波效果明显，但相位滞后在 1kHz 处大概有 18 度，需要评估对电流环的影响。

注意：一阶低通的 alpha 不要小于 0.05，否则在定点 DSP 上量化误差会很明显，而且相位滞后可能超过 45 度，闭环系统容易震荡。

3.2 二阶低通：更陡的滚降

当一阶低通不够用，比如 PWM 噪声在 10kHz，而你的电流环带宽只有 1kHz，一阶低通在 10kHz 处只能衰减 20dB 左右，可能还不够。这时候用二阶巴特沃斯低通：

H(z) = (b0 + b1*z^-1 + b2*z^-2) / (1 + a1*z^-1 + a2*z^-2)

巴特沃斯的特点是通带最平坦，没有纹波。设计步骤：

1. 确定截止频率 fc 和采样频率 fs
2. 计算预畸变后的模拟角频率
3. 查巴特沃斯二阶原型的系数
4. 用双线性变换得到数字系数

我通常直接用 Python 的 scipy 算：

from scipy import signal fs = 20000 fc = 2000 b, a = signal.butter(2, fc/(fs/2), 'low') print("b =", b) print("a =", a)

得到的 b 和 a 直接对应差分方程的系数。注意 scipy 的 a[0] 通常是 1，如果代码里要求归一化，需要把 b 和 a 都除以 a[0]。

3.3 带通：高频注入的核心工具

带通滤波器在高频注入里是刚需。注入频率通常是 500Hz 到 2kHz，你需要把基波（几十赫兹）和 PWM 噪声（几十千赫兹）都挡掉，只留下注入频率附近的响应信号。

二阶带通传递函数：

H(z) = (b0 + b1*z^-1 + b2*z^-2) / (1 + a1*z^-1 + a2*z^-2)

设计时指定中心频率 f0 和带宽 BW。品质因数 Q = f0/BW。Q 越高，选择性越强，但响应越慢。高频注入里 Q 一般取 5 到 20，太低选不出来，太高响应延迟大，影响转子位置估计的实时性。

用 scipy 设计：

fs = 20000 f0 = 1000 Q = 10 b, a = signal.iirpeak(f0/(fs/2), Q)

iirpeak设计的是峰值滤波器，在 f0 处增益为 1，适合提取特定频率分量。如果你需要更标准的带通，可以用signal.butter(2, [f_low/(fs/2), f_high/(fs/2)], 'band')。

3.4 系数归一化与定点实现

在 STM32F103 这种没有 FPU 的芯片上，浮点运算很慢。我一般会把系数放大成 Q15 格式的整数，用定点乘加。步骤：

1. 找到 b 和 a 系数中的最大值
2. 计算缩放因子 scale = 32767 / max_abs
3. 所有系数乘以 scale 并取整
4. 运算时用 int32 累加，最后右移 15 位

// Q15 定点一阶低通 #define ALPHA_Q15 20589 // 0.628 * 32768 int32_t y_fixed = 0; int16_t iir_lpf_q15(int16_t x) { y_fixed = (ALPHA_Q15 * x + (32768 - ALPHA_Q15) * y_fixed) >> 15; return (int16_t)y_fixed; }

这里 y_fixed 用 int32 保存，避免中间结果溢出。右移 15 位相当于除以 32768。注意 (32768 - ALPHA_Q15) 对应 (1-alpha)，这个结构比先算 alpha*x 再算 (1-alpha)*y 更省一次乘法。

提示：定点实现时，y_fixed 的初始值建议设为第一次输入的 x 左移 15 位，避免滤波器从 0 开始爬升导致的启动延迟。

4. IIR 在 FOC 电流环和速度环里的具体用法

4.1 电流采样滤波：位置和参数怎么定

FOC 电流环的采样通常在 PWM 中心对齐模式下触发，采样频率等于 PWM 频率，常见 10kHz 到 20kHz。电流采样信号里主要有两类噪声：PWM 开关引入的高频尖峰，以及 ADC 量化噪声。

滤波器的截止频率选择要考虑两点：一是要高于电流环带宽，二是要低于 PWM 频率的一半（奈奎斯特频率）。比如 PWM 20kHz，电流环带宽 1kHz，滤波器截止频率可以设在 3kHz 到 5kHz。

我一般用一阶低通，alpha 取 0.3 到 0.5。这个范围在 STM32F103 上计算量小，相位滞后在 1kHz 处大约 10 到 20 度，对电流环影响可控。如果噪声特别大，可以上二阶，但要注意相位滞后会翻倍。

实际调试时，我会先不加滤波器，用示波器看电流波形，确认噪声幅度和频率。然后逐步降低截止频率，观察电流环的阶跃响应，直到噪声被压到可接受范围，同时阶跃响应没有明显变慢或过冲。

4.2 速度环滤波：慢速环的滤波策略

速度环的带宽通常只有几十赫兹到几百赫兹，采样频率也低得多，可能 1kHz。速度反馈来自编码器差分或者无感观测器，噪声来源不同。

编码器速度计算本身就有量化噪声，尤其是低速时。这时候 IIR 低通很有用，截止频率可以设得比较低，比如 50Hz 到 100Hz。因为速度环带宽低，相位滞后在带宽处不会太大。

但要注意，速度环滤波器的延迟会影响整个系统的动态响应。如果速度环带宽 100Hz，滤波器截止频率 50Hz，在 100Hz 处相位滞后大约 63 度，这已经很大了。我一般会把截止频率设在速度环带宽的 2 到 3 倍，比如 200Hz 到 300Hz，牺牲一点滤波效果换动态性能。

无感 FOC 里，速度估计来自滑模观测器或者龙伯格观测器，观测器本身就有滤波作用。这时候再加 IIR 要小心，两级滤波叠加可能导致相位滞后过大，系统震荡。我的做法是先在观测器内部做好滤波，速度环外面只加很轻的一阶低通，alpha 不小于 0.5。

4.3 滤波器在环路中的位置：前向还是反馈

这个问题很多人忽略，但影响很大。电流采样滤波器放在反馈路径上，会引入相位滞后，降低相位裕度。放在前向路径上，会影响指令跟踪，但不影响稳定性。

我的建议是：电流环滤波器放在反馈路径，因为电流采样噪声必须滤掉，而且电流环带宽高，滤波器截止频率也高，相位滞后可以接受。速度环滤波器也放在反馈路径，但截止频率要仔细选。

如果你发现加了滤波器后系统震荡，可以先尝试把滤波器移到前向路径，看看是否改善。如果改善明显，说明相位裕度不够，需要重新调整滤波器参数或者降低环路增益。

4.4 实测案例：STM32F103 上的电流环滤波

我之前做过一个基于 STM32F103C8T6 的 FOC 项目，PWM 16kHz，电流环 16kHz，电机是 2204 云台电机。原始电流采样噪声峰峰值大约 200mA，电流环输出抖动明显。

加了 alpha=0.4 的一阶低通后，噪声峰峰值降到 50mA 左右，电流波形明显干净。但电机在高速时出现轻微啸叫，频率大约 2kHz。排查后发现是滤波器相位滞后导致电流环相位裕度下降，在某个转速下激发了振荡。

把 alpha 提高到 0.6，啸叫消失，噪声峰峰值约 80mA，仍然可接受。这个案例说明，滤波器参数不是越强越好，要在噪声和稳定性之间找平衡。

5. 高频注入里的 IIR 带通：从噪声中提取转子位置

5.1 高频注入的基本原理

无感 FOC 在零速和低速时，反电动势太小，滑模观测器无法准确估计转子位置。高频注入通过向 d 轴注入一个高频电压信号，利用电机的凸极效应（Ld ≠ Lq），在 q 轴电流里产生一个与转子位置相关的响应信号。提取这个响应信号的幅值或相位，就能估计转子位置。

注入频率通常 500Hz 到 2kHz，幅值几十伏。响应信号很微弱，而且混有基波电流和 PWM 噪声。带通滤波器的作用就是把注入频率附近的响应信号提取出来，把其他频率成分挡掉。

5.2 带通滤波器的设计细节

假设注入频率 1kHz，PWM 20kHz，电流环 20kHz。带通滤波器中心频率 1kHz，带宽 200Hz，Q=5。

用 scipy 设计：

fs = 20000 f0 = 1000 Q = 5 b, a = signal.iirpeak(f0/(fs/2), Q)

得到的滤波器在 1kHz 处增益为 1，在 500Hz 和 2kHz 处衰减约 14dB。这个选择性对于高频注入够用了。

但要注意，带通滤波器的群延迟在中心频率处最大。Q=5 时，群延迟大约 Q/(pif0) = 5/(3.141000) ≈ 1.6ms。这个延迟会导致位置估计滞后，在低速时影响不大，但高速时可能造成角度误差。所以高频注入通常只在低速段使用，高速段切换到反电动势观测器。

5.3 同步解调与低通后处理

带通滤波器的输出是注入频率的交流信号，还需要同步解调才能得到位置信息。解调方法是用一个与注入信号同频同相的参考信号相乘，然后低通滤波取出直流分量。

这里的低通滤波器又是一级 IIR。截止频率通常设得比较低，比如 100Hz 到 200Hz，因为位置估计不需要很快的响应。但截止频率太低会导致位置估计延迟大，影响低速性能。

我一般用两级一阶低通级联，截止频率 200Hz，等效二阶巴特沃斯。这样在 1kHz 处衰减约 28dB，解调后的纹波可以压到很小。

5.4 实际调试中的坑

高频注入调试最头疼的是参数耦合。注入幅值、注入频率、带通 Q 值、解调低通截止频率，这四个参数互相影响。我的经验是：

1. 先固定注入频率为 PWM 频率的 1/10 到 1/20，比如 20kHz PWM 用 1kHz 注入
2. 注入幅值从额定电压的 10% 开始，逐步增加，直到响应信号在示波器上清晰可见
3. 带通 Q 值从 5 开始，如果响应信号仍然被噪声淹没，增加到 10
4. 解调低通截止频率从 200Hz 开始，如果位置估计抖动大，降低到 100Hz

还有一个坑是带通滤波器的中心频率必须和注入频率严格一致。如果注入频率有漂移，或者滤波器系数计算有误差，响应信号会被衰减。我一般会在代码里用同一个频率变量生成注入信号和滤波器系数，确保一致。

6. 代码实现：从差分方程到可运行函数

6.1 二阶 IIR 的通用 C 实现

typedef struct { float b0, b1, b2; float a1, a2; float x1, x2; float y1, y2; } IIR_Biquad; float iir_biquad_process(IIR_Biquad *f, float x) { float y = f->b0 * x + f->b1 * f->x1 + f->b2 * f->x2 - f->a1 * f->y1 - f->a2 * f->y2; f->x2 = f->x1; f->x1 = x; f->y2 = f->y1; f->y1 = y; return y; }

这个结构叫 Direct Form I，最直观，也最不容易出错。每个滤波器实例需要保存 x1、x2、y1、y2 四个状态变量。

注意 a1 和 a2 前面的负号。如果你从 scipy 拿到 a = [1, a1, a2]，差分方程里是减去 a1y1 和 a2y2。这个符号搞错的话，滤波器会变成不稳定。

6.2 定点实现的注意事项

在 STM32F103 上用浮点会很慢，建议用 Q15 定点。但二阶 IIR 的定点实现比一阶复杂，因为中间累加可能溢出。

typedef struct { int32_t b0, b1, b2; int32_t a1, a2; int32_t x1, x2; int32_t y1, y2; } IIR_Biquad_Q15; int16_t iir_biquad_q15_process(IIR_Biquad_Q15 *f, int16_t x) { int32_t acc = f->b0 * x + f->b1 * f->x1 + f->b2 * f->x2 - f->a1 * f->y1 - f->a2 * f->y2; int16_t y = (int16_t)(acc >> 15); f->x2 = f->x1; f->x1 = x; f->y2 = f->y1; f->y1 = y; return y; }

系数用 Q15 格式，即实际系数乘以 32768。累加器用 int32，最后右移 15 位。如果系数较大，累加器可能溢出，需要检查最大可能值。一般来说，如果输入是 int16 范围，系数和不超过 4，累加器不会溢出 int32。

6.3 滤波器初始化和状态复位

滤波器上电时，状态变量应该初始化为第一次输入值，而不是 0。否则滤波器会从 0 开始爬升，导致启动时的瞬态。

void iir_biquad_init(IIR_Biquad *f, float init_val) { f->x1 = init_val; f->x2 = init_val; f->y1 = init_val; f->y2 = init_val; }

在电机启动时，用第一个电流采样值初始化滤波器，可以避免启动冲击。

7. 几个容易踩的坑和排查思路

7.1 滤波器震荡：先查符号再查极点

如果加了 IIR 后系统震荡，第一步检查差分方程的符号。a 系数前面的负号是最常见的错误。第二步检查极点是否在单位圆内。可以用 Python 算一下：

import numpy as np roots = np.roots([1, a1, a2]) print(np.abs(roots))

如果任何一个根的模大于等于 1，系统不稳定。正常情况下应该都小于 1。

7.2 相位滞后导致环路不稳

如果滤波器本身稳定，但系统仍然震荡，大概率是相位滞后太大。用 Python 画一下滤波器的相频响应：

from scipy import signal import matplotlib.pyplot as plt w, h = signal.freqz(b, a) plt.plot(w/np.pi*fs/2, np.angle(h, deg=True)) plt.xlabel('Frequency (Hz)') plt.ylabel('Phase (deg)') plt.show()

看电流环带宽处的相位滞后。如果超过 45 度，就需要降低滤波器阶数或者提高截止频率。

7.3 定点溢出的隐蔽表现

定点实现时，如果累加器溢出，结果会突然跳变，表现为电机偶尔抽搐或者电流尖峰。这种问题很难查，因为不是每次都出现。

我的做法是在调试阶段用 int64 累加器，确认没有溢出后再改回 int32。或者在累加后加一个饱和判断：

if (acc > 2147483647) acc = 2147483647; if (acc < -2147483648) acc = -2147483648;

7.4 采样频率变化时的系数重算

如果 PWM 频率动态调整，滤波器的系数需要重新计算。因为 alpha 和采样周期 T 有关。我一般会在频率切换时调用一个系数更新函数，用当前 T 重新算 alpha。

void update_lpf_alpha(float fc, float fs) { alpha = 1.0f - expf(-2.0f * 3.14159f * fc / fs); }

注意 expf 在 STM32F103 上比较慢，如果频率切换不频繁，可以接受。如果频繁切换，建议用查表法。

8. 一些个人经验

IIR 滤波器在电机控制里是个双刃剑。用得好，噪声压得干干净净，环路稳如磐石；用不好，震荡、啸叫、响应迟钝全来了。我的核心经验就一条：永远不要孤立地设计滤波器，要把它放在整个控制环路里评估。

具体来说，设计滤波器时先问自己三个问题：这个滤波器的截止频率和环路带宽是什么关系？相位滞后在环路带宽处有多少度？滤波器的延迟会不会影响系统的动态响应？这三个问题回答清楚了，参数就不会跑偏。

另外，仿真和实测差距很大。MATLAB 里完美的滤波器，到了实际电机上可能完全不是那么回事。因为实际系统里有非线性、有延迟、有量化误差。我一般会在仿真确认基本参数后，直接在硬件上调试，用示波器和电流探头看实际波形，逐步微调。

最后，高频注入里的带通滤波器，Q 值不要设太高。我见过有人设 Q=50，结果响应信号是干净了，但位置估计延迟大到电机根本转不起来。Q=5 到 10 是实践中最稳的范围。

这个内容后续还可以扩展的方向包括：自适应 IIR 滤波器在电机参数变化时的应用、多速率滤波在 FOC 里的实现、以及 IIR 和 FIR 在电机控制里的混合使用策略。