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简介：这份专业课件围绕压力容器设计中的三类应力展开，面向化工设备、过程装备与控制工程等专业的学生及设计人员，帮助建立从薄膜理论到边界区应力分析的完整认知框架，适合课程学习、考前复习与工程计算参考。压缩包共1个文件，为71页的pptx演示文稿，约643KB，内容以公式推导、受力示意图和分节结论为主，便于课堂讲解与自学翻阅。课件依次讲解回转壳体的薄膜应力、圆形平板的弯曲应力、边界区内的二次应力以及强度条件，并给出圆筒与球形壳体的环向、经向薄膜应力公式与推导思路，指出无矩理论与有矩理论的适用差异，同时强调开孔、接管、封头等部位的应力叠加问题。目前已有211人学习下载，可帮助读者理清应力分类、掌握基本计算并与强度校核要求对照。

1. 从一份 71 页课件到可运行的压力容器应力计算脚本

化工设备的外壳在设计阶段绕不开三类量：薄膜应力、弯曲应力、二次应力。这份课件把回转壳体的无矩理论、圆形平板的有矩解、边界区二次应力和强度条件串在一条线上，但 71 页顺下来，公式是摊开的，真正落到校核时还得自己把几何参数和压力代进去。对做工程软件的读者来说，这套东西本质上是一个规则引擎：输入内径、壁厚、压力、材料许用应力，输出的是应力值和限值之比。

课件处理的是薄壁回转壳体这条主线，判据写在开头——S/Di < 0.1，或 D₀/Di ≤ 1.2。超出这个范围，所有基于无矩理论的薄膜公式都要打折，得换厚壁圆筒的拉梅解。记住这条边界，比记住公式本身更值钱。

下面按无矩理论 → 圆形平板弯曲 → 边界区二次应力 → 强度校核推下去，每一步都给能直接跑的 Python 代码、参数取值依据和失败时的排查方向。

2. 回转壳体薄膜应力：无矩理论的三个假设与圆筒、球壳公式推导

2.1 三条基本假设划定了公式的适用边界

课件开篇给的三条假设，决定了后面所有公式能用到哪里。小位移假设说壳体受压变形后各点位移远小于壁厚，几何方程可以线性化；直法线假设说沿厚度各点的法向位移相同，即变形后厚度不变；不挤压假设说沿壁厚各层纤维互不挤压，壁厚方向的正应力忽略不计，壳体处于两向应力状态。

三条合起来就是无矩理论，也叫薄膜理论：把壳壁当成一张薄膜，只承受拉应力和压应力，完全不承受弯矩。对应的有矩理论承认壁内存在弯曲应力，只是这部分通常很小，略去不计的误差仍在工程计算允许范围内，而计算量下降一个量级。工程计算里默认走无矩理论。

提示：无矩理论在远离边界区的区域误差可接受，接管、封头与筒体连接处必须换有矩理论处理，详见第 4 章。

2.2 环向与经向薄膜应力的平衡推导

圆筒取长度为 l 的一段，用纵截面切开看半筒体。介质内压力 p 作用在半个筒体上的合力 N，等于压力乘以该曲面沿合力方向的投影面积，也就是 p·Di·l——这条结论和曲面形状无关，是后面球壳、封头能统一处理的关键。半个筒壁纵截面上的内力 T = l·δ·σθ，力的平衡给出 2T = N，于是环向薄膜应力 σθ = pDi/(2δ)。

经向方向换一个切法：压力作用在封头内表面产生的轴向合力是 p·πDi²/4，筒壁环形横截面上的内力是 πD·δ·σm，两者相等，得到经向薄膜应力 σm = pD/(4δ)。两个式子里的 D 都取中径，也就是内径加壁厚，这就是中径公式的由来。

由此得到两条工程结论。第一，内压圆筒上环向薄膜应力是经向的两倍，所以筒体壁厚由环向应力控制。第二，决定应力水平的是壁厚与直径的比值 D/δ，而不是壁厚的绝对值——DN2000、壁厚 20 mm 的筒体，和 DN1000、壁厚 10 mm 的筒体，薄膜应力完全一样。

圆球形壳体两个方向的曲率半径相同，截面也一样，于是 σθ = σm = pD/(4δ)，两向等值。这也是球罐在同样压力下比圆筒省材料的原因。

2.3 常见回转壳体的应力对比与代码实现

把公式落到代码里，中径的选择和单位统一是两处最容易出问题的地方。

# thin_wall_stress.py # 薄壁回转壳体薄膜应力（无矩理论） # 单位约定：p - MPa，D/a - mm，delta - mm，输出 MPa def cylinder(p, Di, delta): """圆筒形壳体，Di 为内径，中径 D = Di + delta""" D = Di + delta sigma_theta = p * D / (2 * delta) # 环向：纵截面上的拉伸，控制壁厚 sigma_m = p * D / (4 * delta) # 经向：锥截面上的拉伸，为环向的一半 return sigma_theta, sigma_m def sphere(p, Di, delta): """圆球形壳体，两向曲率半径相同，薄膜应力相等""" D = Di + delta return p * D / (4 * delta), p * D / (4 * delta) def elliptical_head(p, a, delta, k=2.0): """椭圆封头，a 为长半轴（中径的一半），k = a/b 为长短半轴比""" b = a / k apex = p * a * a / (2 * b * delta) # 顶点：经向与环向相等 equ_m = p * a / (2 * delta) # 赤道：经向应力 equ_t = p * a / delta * (1 - k * k / 2) # 赤道：k > √2 时环向为压应力 return apex, equ_m, equ_t p, Di, delta = 1.6, 1000.0, 10.0 # 设计压力 1.6 MPa，内径 1000 mm，壁厚 10 mm st, sm = cylinder(p, Di, delta) print(f"圆筒 环向={st:.2f} MPa 经向={sm:.2f} MPa 比值={st / sm:.2f}") print(f"球壳 两向={sphere(p, Di, delta)[0]:.2f} MPa") ap, em, et = elliptical_head(p, Di / 2, delta, k=2.0) print(f"椭圆封头 顶点={ap:.2f} MPa 赤道经向={em:.2f} MPa 赤道环向={et:.2f} MPa")

参数说明：delta是有效厚度，不含腐蚀裕量和钢板负偏差；cylindrical中加壁厚这一步不能省，用内径直接代入会低估 1% 到 3%；椭圆封头的a用中径的一半，k = 2.0对应标准椭圆封头。运行结果里圆筒环向 80.80 MPa、经向 40.40 MPa，比值始终是 2.00，这个比值与压力、直径、壁厚都无关。

表格里负号代表压缩。赤道附近出现环向压应力，是标准椭圆封头几何形状决定的必然结果，设计时要关注该处的成型减薄量和局部稳定性。

3. 圆形平板弯曲应力：有矩理论下的固支与简支解

3.1 平板为什么不能用薄膜理论处理

壳体靠曲面把横向载荷转化为膜力，平板不行。平板受到横向压力后，载荷必须由弯矩承担，沿厚度方向的弯曲正应力是主要承载项，所以必须用有矩理论。轴对称薄板小挠度理论的两个前提是：挠度远小于板厚，板中面在变形中不产生面内应变。

板内的径向弯曲应力 σr 和环向弯曲应力 σθ 沿厚度线性分布，中面为零、表面最大，写成弯矩的形式是 σr = 6Mr/t²、σθ = 6Mθ/t²。这一条和壳体的薄膜应力形成鲜明对比——壳体应力沿厚度近似均匀分布，板应力沿厚度线性分布，所以板的承载效率天然更低。

3.2 固支与简支两种边界条件下的应力解

周边固支对应平盖与筒体整体焊接、转角被约束的情况，周边简支对应平盖搁置在支座或法兰上、可以自由转动的情况。均布压力 p、半径 a、板厚 t 的圆板，两种边界下的弯矩分布如下。

固支板：Mr = pa²/16·[(1+ν) − (3+ν)(r/a)²]，Mθ = pa²/16·[(1+ν) − (1+3ν)(r/a)²]。最大值在边缘，Mr = −pa²/8。

简支板：Mr = pa²/16·(3+ν)(1−(r/a)²)，Mθ = pa²/16·[(3+ν) − (1+3ν)(r/a)²]。最大值在中心，Mr = Mθ = (3+ν)pa²/16。

代进应力公式，取 ν = 0.3，得到两组可比的数字：固支板边缘 σr = 0.750p(a/t)²，中心 σ = 0.488p(a/t)²；简支板中心 σ = 1.238p(a/t)²，是固支板边缘峰值的 1.65 倍。边界约束条件对平板应力的影响远大于对壳体的影响，这是平板设计里最容易被忽略的一条。

3.3 板应力随半径分布的计算脚本

import numpy as np def plate_stress(p, a, t, nu=0.3, support="fixed", n=7): """ 轴对称圆板在均布压力下的弯曲应力 p : 均布压力, MPa a : 板半径, mm t : 板厚, mm nu : 泊松比, 钢取 0.3 support: 'fixed' 周边固支 / 'simple' 周边简支 """ r = np.linspace(0.0, a, n) x = (r / a) ** 2 if support == "fixed": Mr = p * a**2 / 16 * ((1 + nu) - (3 + nu) * x) Mt = p * a**2 / 16 * ((1 + nu) - (1 + 3 * nu) * x) else: # 周边简支 Mr = p * a**2 / 16 * (3 + nu) * (1 - x) Mt = p * a**2 / 16 * ((3 + nu) - (1 + 3 * nu) * x) return r, 6 * Mr / t**2, 6 * Mt / t**2 for mode in ("fixed", "simple"): r, sr, st = plate_stress(1.6, 500.0, 20.0, support=mode) peak = max(abs(sr).max(), abs(st).max()) print(f"{mode:6s} 峰值弯曲应力={peak:.2f} MPa 位置 r={r[abs(sr).argmax()]:.0f} mm") print(" 径向应力分布:", np.round(sr, 1))

逻辑说明：弯矩按半径二次分布，x = (r/a)²这一步把二次项提取出来，让表达式更短。6 * Mr / t**2是板表面的弯曲应力，中面处该值为零，所以打印出来中心与边缘的数值差异会很大。参数上，support的选择不是几何问题而是连接方式问题：平盖与筒体采用全焊透对接时按固支处理，通过螺栓压紧在垫片上的按简支处理，两者算出来的厚度能差 30% 以上。

3.4 平板与壳体的承载差异

同样是 1.6 MPa、同样是 1000 mm 直径，圆筒壁厚 10 mm 时环向薄膜应力 80.8 MPa；换成半径 500 mm、厚度 20 mm 的平板，简支条件下中心弯曲应力已经超过 100 MPa，而且板厚翻了一倍。原因在于壳体应力是 pD/(2δ) 的量级，平板应力是 p(a/t)² 的量级，后者对半径与厚度之比是平方敏感。

所以选型顺序很清楚：能做成椭圆封头的场合不要做成平盖，能减小平板计算半径的场合优先加支撑或加强筋。如果工艺上必须用平盖，控制应力的唯一有效手段是把计算半径 a 降下来，加厚板的效果远不如缩小半径。

4. 边界区二次应力：不连续处的边缘效应与应力分类

4.1 边界区二次应力的产生机理

圆筒和封头在内压下的自由变形量不一样。圆柱壳的径向膨胀是 w_cyl = pR²/(Eδ)·(1 − ν/2)，球壳是 w_sph = pR²/(2Eδ)·(1 − ν)。取 ν = 0.3，前者约等于 0.85pR²/(Eδ)，后者约等于 0.35pR²/(Eδ)。圆筒要往外鼓得更多，而封头只愿意鼓那么一点，两者在连接处被强行拉到同一个位移上。

这个强制协调产生的内力就是边缘力系：一个边缘剪力 Q₀ 和一个边缘弯矩 M₀。它们在连接处附近引起局部弯曲应力，也就是课件里说的二次应力。二次应力的特点是自限性——局部屈服以后变形协调的要求被部分释放，应力不会随载荷线性增长，这和一次薄膜应力会一直撑到爆破有本质区别。

4.2 边缘效应的衰减长度与影响范围

圆柱壳边缘效应的特征参数是 β = [3(1 − ν²)]^¼ / √(Rδ)，量纲为 1/mm。取 ν = 0.3，系数 [3(1 − 0.09)]^¼ ≈ 1.285，于是 β ≈ 1.285/√(Rδ)，衰减长度 l = 1/β ≈ 0.778√(Rδ)。

沿轴向距离 x 处，边缘应力的量级大致按 e^(−βx) 衰减：x = 1/β 时剩 37%，x = 2.5/β 时剩 8%，x = π/β 时剩 4%。工程上把 x ≤ 2.5/β 这一段称为边界区。以中面半径 505 mm、壁厚 10 mm 的圆筒为例，√(Rδ) = √5050 ≈ 71 mm，衰减长度约 55 mm，边界区范围约 138 mm。

这个数字有直接的工程用途：接管、支座、开孔如果落在封头焊缝的 138 mm 以内，局部区域的应力就不能只按一次薄膜应力处理，必须考虑边缘弯曲应力的叠加。

4.3 应力分类与限值对照

注意：3S 是按安定性条件给二次应力留的余量，不能拿这个数值去反推壁厚。壁厚始终由一次应力决定，二次应力只影响是否需要做疲劳评定。

4.4 边界区影响范围与残余比例计算

import numpy as np def edge_effect(R, delta, nu=0.3, ratio=2.5): """ 圆柱壳边界效应衰减估算 R : 圆筒中面半径, mm delta : 有效厚度, mm ratio : 影响范围取几个衰减长度，工程上常取 2.5 返回 : beta (1/mm), 衰减长度 l (mm), 影响范围 x (mm) """ beta = (3 * (1 - nu ** 2)) ** 0.25 / np.sqrt(R * delta) return beta, 1.0 / beta, ratio / beta beta, l, x = edge_effect(505.0, 10.0) print(f"beta={beta:.5f} /mm 衰减长度={l:.1f} mm 边界区范围={x:.1f} mm") for d in (20, 55, 100, 138, 200): print(f"距连接处 {d:4d} mm，边缘应力残余 {np.exp(-beta * d):.1%}")

逻辑说明：β 随壁厚减小而增大，壁越薄边缘效应衰减越快、边界区越窄，这与直觉相反——厚壁壳体的边缘效应反而传播得更远。输出中 20 mm 处残余约 71%，138 mm 处降到 8% 以下，说明边界区之外可以放心按无矩理论处理。参数ratio取 2.5 是工程习惯，做有限元后处理时取 3.0 更保守。如果接管正好落在边界区内，正确做法是在有限元结果上沿壁厚方向取一条应力分类线，把应力分解为膜分量、弯曲分量和非线性分量，再分别归入 Pm、Pb、Q 三类去对照限值，而不是简单看等效应力峰值。

5. 按规范反推壁厚：三类应力塞进同一套校核脚本

5.1 强度条件与壁厚计算式

强度条件的基本形式是 σθ ≤ [σ]^t·φ，[σ]^t 是设计温度下材料的许用应力，φ 是焊接接头系数。内压圆筒的环向薄膜应力是控制量，由这个不等式反推计算厚度：δ = pDi/(2[σ]^tφ − p)。得到计算厚度后再加腐蚀裕量 C2 和钢板厚度负偏差 C1，向上圆整到钢板规格，得到名义厚度。

这里有个容易踩的坑：圆整之后必须用有效厚度反算一次实际应力，做二次复核。因为腐蚀裕量在容器服役末期会被消耗掉，用名义厚度反算会高估承载能力，用有效厚度才是保守做法。

5.2 完整的壁厚计算与应力复核脚本

def check_cylinder(p, Di, sigma_allow, phi=1.0, C2=1.0, C1=0.3): """ 内压圆筒壁厚计算与应力复核 p : 设计压力, MPa Di : 圆筒内直径, mm sigma_allow : 设计温度下材料许用应力, MPa phi : 焊接接头系数，双面焊全焊透取 1.0，单面焊取 0.85 C2 : 腐蚀裕量, mm C1 : 钢板厚度负偏差, mm """ delta_calc = p * Di / (2 * sigma_allow * phi - p) # 计算厚度，由环向应力反推 delta_nom = delta_calc + C2 + C1 # 名义厚度（圆整前） delta_eff = delta_nom - C1 - C2 # 有效厚度 Deff = Di + delta_eff # 中径 sigma_t = p * Deff / (2 * delta_eff) # 用有效厚度反算的实际应力 limit = sigma_allow * phi return dict(calc=round(delta_calc, 2), nom=round(delta_nom, 2), eff=round(delta_eff, 2), stress=round(sigma_t, 2), limit=round(limit, 2), ratio=round(sigma_t / limit, 3), ok=sigma_t <= limit) r = check_cylinder(1.6, 1000.0, 189.0, phi=1.0, C2=1.0, C1=0.3) for k, v in r.items(): print(f"{k:8s} = {v}")

参数说明：sigma_allow必须查设计温度下的材料许用应力表，不能直接用常温值，例如 Q345R 在常温、板厚 3～16 mm 时约为 189 MPa，温度升高后要按表折减；phi取决于焊缝形式和无损检测比例，全焊透双面焊且 100% 检测取 1.0，局部检测降到 0.85；C2按介质腐蚀性取值，碳钢储水容器常取 1 mm；C1是钢板厚度负偏差，按钢板标准取，通常 0.3 mm 以内。

运行结果中ratio是应力比，ok是布尔判定，批量校核时可以直接按ratio排序，把最接近 1.0 的工况先挑出来人工复核。

5.3 从校核结果反推设计调整方向

脚本跑完拿到ratio之后，调整方向由它落在哪个区间决定。比值在 0.95 到 1.00 之间，说明厚度刚好卡线，此时先回头核对焊接接头系数和腐蚀裕量的取值是不是过于乐观，再考虑换材料或增加厚度。比值低于 0.70，通常意味着厚度被其他工况控制——比如卧式容器的鞍座支承反力、立式容器的风载与地震载荷，这时不要急着减薄，要先把所有载荷组合都算一遍。

一个实用的做法是把三类应力分别算出来，统一换算成比值再做对照：一次薄膜应力对 1.0S，一次薄膜加一次弯曲对 1.5S，一次加二次对 3S。三个比值里只要有一个超过 1.0，就说明该工况不合格，而具体是哪一个超限，直接决定了解决办法——Pm 超限只能加厚或换材料，Pb 超限可以改结构形式，Q 超限则应该改连接方式、增加过渡圆角或者调整焊缝位置，加厚往往是最不划算的那条路。

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