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简介：《应用时间序列分析习题集答案》是一份面向统计学、计量经济学及数据分析方向学习者与备考人员的习题解答文档，适合在完成课后练习、复习模型推导或核对计算结论时查阅。压缩包内仅含1个doc文件，约1.35MB，以文字解答与必要图表说明为主，按章节顺序编排，便于逐题对照，目前已有280人学习下载。内容覆盖第二章至第六章：从非平稳序列的时序图、自相关图与自相关系数计算，到Ljung-Box白噪声检验；再到AR、MA、ARMA、ARIMA模型的参数估计、平稳域与可逆性判别，并给出不稳定性证明与Green函数递推过程；后续章节还涉及时间序列预测、指数平滑法、移动平均法及两者比较、季节指数与趋势拟合、单位根检验等要点。解答中保留了分位点、P值、置信区间等关键数值，可帮助读者核验手算过程、理清建模思路，对课程作业和期末复习均有较直接的参考价值。

1. 从 .doc 习题答案切入：时间序列分析要连起来看的四类问题

很多人拿到《应用时间序列分析习题集答案》这类 .doc 文档，第一反应是逐题对数字。但 16 页翻下来真正值钱的不是那些小数点后四位的结果，而是它把四类问题串成了一条完整链路：序列平稳性怎么判、模型口径怎么定、参数估计与残差检验怎么落地、预测区间怎么算出来。第二章给的是时序图和样本自相关图，第三章把 AR、MA、ARMA 的平稳域和可逆域摆开，第四章讲移动平均与指数平滑，第五章进入 ARIMA 和疏系数模型，第六章收在单位根、协整和误差修正模型上。数字是结论，判别规则才是可以迁移的东西。这份答案适合两类人：赶作业时需要一个交叉验证基准的学生，以及已经能用 Python 跑 ARIMA、但说不清"为什么定这一阶"的从业者。我的用法是先把每道题的判别条件抄成表，再用 statsmodels 逐条复算，对不上的那几处，往往就是自己理解偏了的地方。

2. 平稳性判别与样本自相关图：第二章 2.1–2.6 的 Python 复算

2.1 时序图和自相关图为什么要成对看

单看时序图只能判断有没有趋势和周期，判断不了"这个非平稳是均值非平稳还是方差非平稳"。单看自相关图能看出衰减速度，但对周期成分的识别不如时序图直观。第二章前六题的编排逻辑就是逼你把两张图放在一起对照：2.1 的时序图单调上升，对应 ACF 缓慢线性衰减，是典型的趋势型非平稳；2.2 的 ACF 带着明显的正弦包络衰减，说明序列同时含趋势和周期；2.3 的 ACF 快速落到置信带内，可以判平稳；2.3 第三问的 ACF 几乎全部落在置信带内，才叫白噪声。

2.2 样本自相关系数的复算与置信带

2.3 给出的前七阶样本自相关系数是 0.2023、0.013、0.042、-0.043、-0.179、-0.251、-0.094。判断它是不是白噪声，光看数值大小不够，得跟置信带比。常用做法是按近似正态性取 1.96 除以根号 n：

import numpy as np from statsmodels.tsa.stattools import acf # 2.3 题给出的前 7 阶样本自相关系数 rho = [0.2023, 0.013, 0.042, -0.043, -0.179, -0.251, -0.094] n = 30 # 题目序列长度 band = 1.96 / np.sqrt(n) # 95% 置信带的单侧宽度 print(round(band, 3), [abs(r) > band for r in rho]) # 全部 False -> 前 7 阶都落在置信带内，配合时序图可判为白噪声 # 若手里是原始序列，直接用 statsmodels 重算，会额外给出 Bartlett 置信区间 acf_vals, confint = acf(series, nlags=20, alpha=0.05, fft=True) print(np.round(acf_vals[:8], 4)) print(np.round(confint[:8], 4))

nlags控制输出的最大滞后阶数，一般取到 n/4 左右；alpha=0.05决定置信区间宽度；fft=True在序列较长时用快速傅里叶变换加速，几百个点以上才划算。判断标准是：样本自相关系数的绝对值超过1.96/sqrt(n)的个数，如果超过约 5%，就不能当白噪声处理。2.3 的结论之所以是白噪声，正因为这七个数一个都没越界。

2.3 Ljung-Box 检验：把 2.4 的结论翻译成阈值

2.4 给的是 LB 统计量 4.83、分位点 0.9634、P 值 0.0363。这三个数是同一个东西的三种表达：P 值等于 1 减去卡方分布的分位点，而自由度得从题目拟合的模型阶数倒推。想验证这类数字是否自洽，用反推法最直接：

from scipy import stats LB, p_target = 4.83, 0.0363 # 反推自由度：找到使 chi2.cdf(LB, df) 接近 1-p 的 df for df in range(1, 16): cdf = stats.chi2.cdf(LB, df) if abs(cdf - (1 - p_target)) < 0.02: print("候选自由度", df, "分位点", round(cdf, 4)) # 取定自由度后，判定规则只有一条：p < 0.05 就拒绝纯随机假设 print("结论:", "非纯随机" if p_target < 0.05 else "无法拒绝纯随机")

stats.chi2.cdf返回的是左尾概率，所以分位点对应1-p。语境的坑在于：LB 统计量前面拟合过 ARMA 模型时，自由度要减去被估参数个数，论文里常见写法是m - p - q，不减去就会把 P 值算大，把本该判为非随机的序列放过去。2.4 的 P 值 0.0363 小于 0.05，所以结论是"序列不能视为纯随机序列"，也就是说还有信息可以挖。

2.4 从 .doc 里把数字捞出来时容易踩的坑

.doc 里公式常以 OLE 对象或域代码形式保存，粘到 Markdown 里符号会丢，数字之间还常常是连续空格而不是制表符。有些在线阅读器直接报"无法预览 doc"，用 Word 或 WPS 另存为 .docx 之后再提取文本，稳定性会好很多。拿到纯文本后读进 pandas 也别手敲：

import pandas as pd, io raw = """0.2023 0.013 0.042 -0.043 -0.179 -0.251 -0.094 0.0248 -0.068 -0.072 0.014 0.109 0.217 0.316""" df = pd.read_csv(io.StringIO(raw), sep=r"\s+", header=None) print(df.values.ravel()[:10])

sep=r"\s+"把连续空白当单一分隔符，正好对付 .doc 复制出来的不等宽空格；header=None是因为原文没有表头。这样读进来的 28 个自相关系数，可以直接跟第六章的预测表用同一套解析逻辑处理。

3. AR、MA、ARMA 的平稳域与可逆域：第三章口径判别的统一算法

3.1 特征根判据：平稳只看 AR，可逆只看 MA

第三章的核心只有一句话：AR 部分决定平稳性，MA 部分决定可逆性，ARMA 两者都要查。判别方式是解特征方程，但这里有个极容易混的约定问题。王燕那本教材用的是特征根 λ 形式，平稳和可逆的条件都是|λ| < 1；而另一些教材和英文文献直接对延迟算子多项式Φ(B)=0求根，条件写成"根在单位圆外"。两种说法互为倒数关系，用错了结论会完全反过来。

用 λ 约定写判别函数，系数按降幂喂给np.roots：

import numpy as np def ar_roots(phi): """AR 特征方程: lambda^p - phi1*lambda^(p-1) - ... - phip = 0""" return np.roots([1.0] + [-p for p in phi]) def ma_roots(theta): """MA 特征方程: lambda^q + theta1*lambda^(q-1) + ... + thetaq = 0""" return np.roots([1.0] + list(theta)) def judge(roots): mods = np.abs(roots) return np.round(mods, 4), bool(np.all(mods < 1)) # 3.11(2)：特征根 0.6、0.5，模都小于 1 -> 平稳 # 3.11(4)：0.2569、-1.5569，有一个模大于 1 -> 不可逆 print(judge(np.array([0.6, 0.5]))) print(judge(np.array([0.2569, -1.5569])))

np.roots的输入是多项式系数，从最高次项开始写，缺项补 0。注意 AR 方程的系数要取负号，MA 方程不取，这是两套公式的唯一差别，写错这里会让 3.11 六组根的判定全部颠倒。

3.2 3.11 的六组根逐条对照

把这六组根过一遍，能验证上面的约定是不是自洽：

（3）那对共轭复根值得单独算一下：实部平方加虚部平方再开方，等于 0.5244，小于 1，所以按 λ 约定判可逆。很多人在这里卡住，是因为拿延迟算子多项式的根去比，算出来是 1.907，看着大于 1 就以为不可逆，其实是把两个约定混着用了。

3.3 3.7–3.10 的等价变形：ARMA 拆成 MA(∞)

3.8 的解法 1 用的是 Green 函数对照系数，解法 2 是直接展开多项式合并同类项。两种做法的底层都是同一个变换：把 ARMA 模型写成无穷阶 MA 形式。Green 函数的递推关系是G_j = ψ_j + Σ φ_i * G_{j-i}，写出来不到十行：

import numpy as np def green(phi, psi, n=20): """ARMA 的 Green 函数递推: G_j = psi_j + sum(phi_i * G_{j-i})""" G = [] for j in range(n): val = psi[j] if j < len(psi) else 0.0 for i, p in enumerate(phi, start=1): if j - i >= 0: val += p * G[j - i] G.append(val) return np.array(G) print(np.round(green([0.5], [1.0], n=6), 4)) # AR(1)：G_j = 0.5^j

phi是 AR 系数列表，psi是 MA 系数列表，n是要输出的 Green 函数长度。这个函数在 3.14、3.16 里都能复用：3.14 要证明的递推式就是它的特例，3.16 算预测方差时，Var(e_h) = σ² * Σ G_j²，直接把这个数组平方求和即可。会写这个递推，第三章后半段的证明题基本就不用死记了。

3.4 平稳域的网格扫描验证

3.4 到 3.6 是纯不等式推导，判断 AR(2) 的参数组合落在不在平稳域内。想验证自己推出的区间对不对，用穷举扫描最快：

def ar2_stationary(phi1, phi2): return (phi2 + phi1 < 1) and (phi2 - phi1 < 1) and (abs(phi2) < 1) # 把题目给出的参数表达式代进来，扫描参数 c 的可行区间 ok = [round(c, 3) for c in np.arange(-2, 2, 0.001) if ar2_stationary(1 + c, -c)] print(ok[0], ok[-1]) # 区间的两个端点

三个条件缺一不可：φ1+φ2<1和φ2−φ1<1管的是特征根不穿过单位圆，|φ2|<1管的是根的模不为 1。扫描的步长取 0.001 足够复现教材给的区间端点，再细没意义，因为不等式解出来本来就是开区间。

4. 差分、定阶与置信区间：ARIMA 建模流程里 3.17–3.20、5.5 的落点

4.1 差分阶数怎么定：ADF 加差分后 ACF 双确认

3.10 的解法 2 演示了一个标准动作：原序列的特征根等于 1，说明是非平稳，做一阶差分后均值方差为常数，差分序列平稳。落到代码上就是先跑单位根检验，再对差分序列重算自相关图：

import numpy as np, pandas as pd from statsmodels.tsa.stattools import adfuller def adf_report(x, name="series"): s = adfuller(x, autolag="AIC", regression="c") print(f"{name}: ADF={s[0]:.3f} p={s[1]:.4f} 临界值={s[4]}") adf_report(series) # 原序列 adf_report(series.diff(1).dropna()) # 一阶差分

regression="c"表示只含常数项，对应 6.1 里"带漂移项平稳"的判定；如果时序图有明显斜率，改用regression="ct"；autolag="AIC"让程序自动选滞后阶。判定顺序是先看 p 值，再看临界值表——当 ADF 统计量比 1% 临界值还小时，才敢说"在 1% 水平下平稳"。5.5 和 5.6 用的"对数变换加一阶差分"组合，本质是先修方差再修均值，两步顺序不能颠倒，先差分再取对数会把负值变成 NaN。

4.2 定阶：AIC 与 BIC 的网格搜索

3.17 到 3.20 四道题给的模型口径分别是 AR(1)、AR(1)、MA(1)、ARMA(1,3)，这些结论在同一份数据上用信息准则也能搜出来。做法是把 p、q 的限制范围扫一遍：

import warnings from statsmodels.tsa.arima.model import ARIMA warnings.filterwarnings("ignore") results = [] for p in range(0, 4): for q in range(0, 4): try: m = ARIMA(train, order=(p, 1, q)).fit() results.append((p, q, m.aic, m.bic)) except Exception: continue best = sorted(results, key=lambda r: r[3])[:3] for p, q, aic, bic in best: print(f"ARIMA({p},1,{q}) AIC={aic:.2f} BIC={bic:.2f}")

必须用同一个训练集，否则 AIC 之间不可比。BIC 对参数个数惩罚更重，样本量上百时优先信 BIC；样本只有几十个点时，AIC 和 BIC 经常给出不同答案，这时候回头看 ACF 和 PACF 的拖尾截尾特征更靠谱。3.20 判成 ARMA(1,3) 这种高阶模型，单靠信息准则容易过拟合，得配合残差白噪声检验一起看。

4.3 预测区间：3.16 和 3.19 的算法拆开

3.16 给的置信区间是[3.8275, 16.1509]，中间那串被省略的公式就是x̂ ± 1.96 * sqrt(Var(e_h))。AR 模型的预测方差随步长增加而累积，因为误差项通过 Green 函数一层层传导下去。用 statsmodels 可以直接拿到：

res = ARIMA(train, order=(1, 1, 0)).fit() fc = res.get_forecast(steps=5) print(np.round(fc.predicted_mean.values, 4)) # 点预测 print(np.round(fc.conf_int(alpha=0.05).values, 4)) # 95% 置信上下限

alpha=0.05换成 0.01 就得到 99% 区间，宽度会明显变宽，这是判读预测结果时必须交代清楚的一项。3.19 的 MA(1) 预测区间只有下一步有意义，因为 MA 模型两步以外的预测值直接回到均值，区间宽度却继续膨胀——这是 MA 和 AR 在长期预测上的核心差别，书上画的两条收敛曲线就是这个意思。

4.4 疏系数模型的拟合：5.5 的处理顺序

5.5 的路径是：原序列非平稳，对数变换消方差非齐，一阶差分后拟合疏系数 AR(1,3)。疏系数意味着滞后 2 阶的系数被约束为 0，statsmodels 里没有直接的接口，用 OLS 手工构造设计矩阵最省事：

import numpy as np, pandas as pd, statsmodels.api as sm lx = np.log(series) # 1) 对数变换，压缩方差 dlx = lx.diff(1).dropna() # 2) 一阶差分，消除趋势 # 3) 只把 lag1、lag3 放进设计矩阵，实现疏系数 AR(1,3) X = pd.DataFrame({"lag1": dlx.shift(1), "lag3": dlx.shift(3)}).dropna() y = dlx.loc[X.index] print(sm.OLS(y, X).fit().params)

shift(n)把序列整体后移 n 期，构造滞后项；dropna()去掉因移位产生的空值，这一步不做的话 OLS 会直接报错。拟合完记得对残差再跑一次 Ljung-Box，疏系数模型最容易犯的错是把本该保留的中间隔系数硬砍掉，结果残差里留下显著自相关。

5. 指数平滑、Holt 与季节分解：4.1–4.8 里那套"答案不唯一"的算法

5.1 移动平均与一次指数平滑的递推实现

4.3 要求对比移动平均法和指数平滑法，题目给的结果是 11.79277。两种方法的差别在权重分配：移动平均对窗口内各期等权，指数平滑按S_t = α*x_t + (1-α)*S_{t-1}递推，权重随期数指数衰减。手写一遍比调库更能看清 α 的作用：

import numpy as np def ses(x, alpha, s0=None): """一次指数平滑，s0 为初始值，默认取第一期""" s = x[0] if s0 is None else s0 out = [] for v in x: s = alpha * v + (1 - alpha) * s out.append(s) return np.array(out) def sma(x, k): """k 期简单移动平均，逐期滚动""" return np.array([x[i:i+k].mean() for i in range(len(x) - k + 1)]) print(round(ses(x, alpha=0.3)[-1], 5)) print(round(sma(x, k=3)[-1], 5))

alpha越小曲线越平滑、对突变越迟钝；alpha越大越贴近原始序列，但预测的稳定性下降。初始值s0的取法教材上通常给两种：直接取第一期的值，或者取前几期的均值。样本期数少的时候，选哪种对结果影响能到小数点后一位，所以 4.3 这类题"答案不唯一"是正常的，别拿自己的结果硬跟答案对。

5.2 Holt 两参数模型：把水平项和趋势项分开平滑

4.5 说序列是显著线性递增，可以用线性方程也可以用 Holt 两参数法。Holt 的做法是把平滑拆成两层：水平项l_t和趋势项b_t各配一个平滑系数，预测时把趋势外推 h 步。

def holt(x, alpha, beta, l0=None, b0=None): l = x[0] if l0 is None else l0 b = (x[1] - x[0]) if b0 is None else b0 # 初始趋势取首两期差 levels, trends = [], [] for v in x: prev_l = l l = alpha * v + (1 - alpha) * (l + b) b = beta * (l - prev_l) + (1 - beta) * b levels.append(l) trends.append(b) return np.array(levels), np.array(trends) lv, tr = holt(x, alpha=0.6, beta=0.3) h = 3 print(lv[-1] + h * tr[-1]) # 向前 h 步预测

初始趋势取首两期之差是常见做法，也可以用线性回归的斜率。beta取 0.3 以下时趋势项变化平缓，适合噪声大的序列；beta调大到 0.5 以上，趋势项会跟着单期波动乱跳。4.6 那种非线性递增序列，Holt 外推会持续线性增长，误差随时间放大，改用二次曲线或者阻尼趋势更合适。

5.3 季节分解与 X11：4.7 的加法模型流程

4.7 是整份文档里步骤最长的一道题，五步走：算季节指数、消除季节影响、拟合趋势、检查残差、回代预测。它给出的 12 个季节指数是 0.960722、0.912575、1.038169、1.064302、1.153627、1.116566、1.042920、0.984162、0.930947、0.938549、0.902281、0.955179，这 12 个数加起来正好等于 12，说明是按"各月均值除以全年均值"算出的比值型指数。

复现时先做归一化校验，再消除季节影响：

import numpy as np s_idx = np.array([0.960722, 0.912575, 1.038169, 1.064302, 1.153627, 1.116566, 1.042920, 0.984162, 0.930947, 0.938549, 0.902281, 0.955179]) print(round(s_idx.sum(), 6)) # 12.0，归一化校验通过 deseason = series / np.resize(s_idx, len(series)) # 比值型指数直接做除法 t = np.arange(len(deseason)) slope, intercept = np.polyfit(t, deseason, 1) # 线性趋势，斜率才有实义 print(round(slope, 4), round(intercept, 4)) # 回代：趋势值乘回对应月份的季节指数 k = len(series) forecast = (slope * (k + np.arange(12)) + intercept) * s_idx print(np.round(forecast, 4))

np.resize会把 12 个指数循环平铺到序列长度，正好对上年度周期。np.polyfit返回的最高次系数在前，一次拟合就是斜率在前、截距在后。原文特意注明"该趋势模型截距无意义，主要是斜率有意义"，因为这里的截距只是拟合起点的基线，真正的长期递增速率由斜率反映，报结论时别把截距当业务指标讲。X11 方法的思路是把趋势项和季节项做多轮迭代分离，结果和上面这套手工分解会有差异，两种结果都属于正常范围。

5.4 4.8 的曲线选择：stepar 与 expo

4.8 说序列有曲线趋势但没有固定周期，所以走曲线拟合或曲线指数平滑。判断走哪条路的办法很朴素：把多项式回归和指数回归都跑一遍，比 RMSE。

import numpy as np from sklearn.metrics import mean_squared_error t = np.arange(len(series)) poly = np.poly1d(np.polyfit(t, series, 2)) # 二次曲线 loglin = np.poly1d(np.polyfit(t, np.log(series), 1)) # 指数型 rmse_poly = mean_squared_error(series, poly(t)) ** 0.5 rmse_exp = mean_squared_error(series, np.exp(loglin(t))) ** 0.5 print(round(rmse_poly, 3), round(rmse_exp, 3))

指数型拟合对原序列取对数之后变成线性回归，预测时要用np.exp还原。算出 RMSE 之后别只看大小，还要看残差有没有残留趋势——残差里还有明显上升段，说明模型阶数不够，加次数比重选模型类型更有效。

6. 协整与误差修正模型的检验技巧：从 6.2–6.4 抠出可复现的验证链

6.1 单位根检验的几种结论

6.1 用五个例子把单位根检验的结果分了类：原序列不平稳但一阶差分平稳（例 2.1）、一阶与 12 步差分后平稳（例 2.2）、带漂移项平稳（例 2.3）、不带漂移项平稳（例 2.4）、带漂移项平稳或趋势平稳（例 2.5）。这些结论全靠 ADF 里的regression参数区分："nc"无常数无趋势，"c"只含常数，"ct"含常数和趋势。同一组数据换参数，结论可能从"不平稳"变成"带漂移项平稳"，所以报告结果时必须把参数写出来。

6.2 协整检验与 ECM：6.4 的两步法

6.4 的流程是：对数变换后一阶差分平稳，说明两个序列都是 I(1)，可以做协整检验。标准做法是 Engle-Granger 两步法，第一步拟合长期均衡方程，第二步对残差做 ADF。

import statsmodels.api as sm from statsmodels.tsa.stattools import coint, adfuller # 第一步：长期均衡回归 X = sm.add_constant(x) resid = sm.OLS(y, X).fit().resid # 第二步：残差平稳性检验，注意必须用 "nc"（无常数） print(adfuller(resid, maxlag=1, regression="nc")[1]) # 更省事的做法：coint 直接给出 Engle-Granger 专用临界值 t_stat, p_val, crit = coint(y, x) print(round(t_stat, 3), round(p_val, 4), crit)

这里的坑很实在：残差 ADF 不能用标准临界值表，因为残差是从回归里估出来的，分布变了。coint输出的crit才是对的临界值，通常比标准表更负。构建误差修正模型时，把长期方程的残差滞后一期作为解释变量加进差分回归：

d_y, d_x = y.diff(1).dropna(), x.diff(1).dropna() ecm = sm.OLS(d_y, sm.add_constant(pd.DataFrame({ "d_x": d_x, "ecm_lag1": resid.shift(1) }).dropna())).fit() print(ecm.params)

ecm_lag1的系数应该在 -1 到 0 之间，绝对值反映偏离长期均衡后的回调速度，这个系数不显著就说明误差修正机制不成立，协整关系要重新怀疑。

6.3 一个具体技巧：把 .doc 里的预测表回读做区间校验

6.3 的预测表是不定期公布结果时最常见的格式：观测号、预测值、标准误、95% 置信上下限。把它读成 DataFrame 之后，可以做一次自洽性校验——点预测加减 1.96 倍标准误，应该等于置信上下限：

import pandas as pd, io raw = """49 70.7924 49.4194 -26.0678 167.6526 50 123.8358 69.8895 -13.1452 260.8167 51 195.0984 85.5968 27.3317 362.8651""" df = pd.read_csv(io.StringIO(raw), sep=r"\s+", header=None, names=["obs", "forecast", "std_err", "lower", "upper"]) df["lower_check"] = (df["forecast"] - 1.96 * df["std_err"]).round(3) df["upper_check"] = (df["forecast"] + 1.96 * df["std_err"]).round(3) print(df[["obs", "lower", "lower_check", "upper", "upper_check"]])

拿第 49 期试算：70.7924 减 1.96 乘 49.4194 等于约 -26.07，跟表里的 -26.0678 一致；加回去得到约 167.65，跟表里的 167.6526 一致。三行都对得上，说明这张表的置信区间用的就是正态近似。如果哪一行对不上，多半是原文抄写时漏了位数，或者是用 t 分布分位点算的——样本量小的时候这两种算法差得出来。6.3 的置信区间下界出现负数，也很正常，掠食者数量的分布本身不为负，但正态近似不约束这一点，报预测结果时可以额外截断到 0。

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