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简介：这份资料围绕菲涅尔波带片的数值模拟展开，面向正在学习光学衍射、信息光学课程或需要完成相关实验作业的高校学生与Matlab初学者，帮助解决波带片条纹绘制与半波带数判断这类编程实现问题。包内仅含1个doc文档，体积约163KB，以图文与代码片段穿插的形式讲解波长、半径、焦距等参数设置，并给出奇数波带片与偶数波带片两种绘制的完整思路，包括将屏幕划分为1001×1001个点、逐点求半波带数、按奇偶性决定涂黑或透光，再借助灰度映射与image函数输出黑白相间的波带片图像。内容预览可见clear、linspace、fix、mod等关键语句的用法说明，读者可据此复现模拟结果，理解菲涅尔波带片对光波干涉与衍射的作用机制，并迁移到更一般的衍射光学仿真中。目前已有859人学习下载，适合作为课程实验与自学参考。

1. 先把波带片的物理尺度算对，再谈 MATLAB 画图

一块刻着同心圆环的玻璃片，不用任何透镜就能把平行光聚成一个亮点，甚至沿着光轴冒出好几个次焦点——这是菲涅尔波带片最反直觉的地方。很多人第一次用 matlab 做这类模拟，直接imagesc画一张圈圈图就收工，结果传播出来的场根本不聚焦。问题几乎都出在环带半径那一行公式上：它同时绑定了波长、焦距和环带序号，任何一个量代错单位，后面所有 matlab 画图出来的结果都是错的。

本文瞄准的是这样一类需求：你手里有一个设计波长和焦斑要求，需要算环带半径、生成透过率分布，再用衍射传播把它送到焦平面看场分布，顺便验证效率对不对。适合做光学、太赫兹、X 射线成像的工程师，也适合想拿这个例子练手 matlab 图像处理与傅里叶光学的读者。物理先站住，代码才不会白跑。

2. 菲涅尔波带片的环带半径公式与透过率矩阵生成

2.1 从光程差反推每一圈的半径

波带片的原理是把波前切成若干半波带。轴上某点到波带片第 n 圈边缘与到中心的距离差为 nλ/2 时，相邻波带对该点的贡献正好反相。把几何关系展开成 r² 的二次式，就得到这圈的外半径：

r_n² = nλf + (nλ/2)²

对可见光和毫米波，第二项相对第一项常常只有千分之几，但 X 射线或长焦场景下不能省。一旦省略，最外几圈半径会偏小，导致边缘环带宽度算错，模拟出的焦斑会明显变宽。所以第一步就是把完整公式写进代码，而不是用近似版。

顺序上，n 从 1 开始计数，第 1 圈的“外半径”用的是公式的 n=1，它的“内半径”为 0。相邻两圈之间就是一条环带，奇数环透光、偶数环挡光（或者反过来，相位恰好差 π，效果一样）。

2.2 用 zone_idx 一次性生成振幅型透过率

手工去拼每一圈(R<r_n(k)) & (R>r_n(k-1))会写得又长又容易错。更稳的做法是先给每个像素标出它属于第几圈，再统一按奇偶赋透过率：

% ---------- 参数（全部 SI 单位）---------- lambda = 532e-9; % 波长 532 nm f = 0.1; % 设计焦距 100 mm n_zones = 20; % 环带总数 N = 2048; % 采样点数 N x N % ---------- 环带外半径 ---------- n = (1:n_zones)'; r_n = sqrt(n*lambda*f + (n*lambda/2).^2); % 保留完整公式的第二项 % ---------- 采样网格 ---------- L = 2.4 * r_n(end); % 窗口略大于最外环直径 x = (-N/2:N/2-1) * (L/N); % 以中心为原点 [X, Y] = meshgrid(x, x); R = hypot(X, Y); % ---------- 逐环带打标签 ---------- zone_idx = zeros(N); r_in = [0; r_n(1:end-1)]; % 每圈的内半径 for k = 1:n_zones zone_idx(R >= r_in(k) & R < r_n(k)) = k; end % ---------- 振幅型：奇数环透明 ---------- T_amp = double(mod(zone_idx, 2) == 1); % ---------- 看一眼结构 ---------- figure; imagesc(x*1e3, x*1e3, T_amp); axis image; colormap gray; xlabel('x / mm'); ylabel('y / mm'); title('Fresnel zone plate, amplitude type');

逻辑说明：zone_idx把空间结构一次性编码成整数标签，之后无论你要做振幅型、相位型还是多焦点的变体，只需要换一行对标签取模的表达式即可。参数上，L取到 2.4 倍最外环半径是为了留点余量、避免光场在窗口边缘被截断产生额外的衍射条纹；如果只看透过率图，这个余量可以更小，但后面做传播时必须留够。

注意：所有长度必须统一成米。用毫米代进r_n会让结果差 10³ 量级，而图上圈数看起来“还挺像”，这才是最坑的地方。

2.3 采样率和最外环宽度决定了模拟能不能信

真正决定成败的不是 N 取多大，而是最外圈宽度与像素尺寸之比。最外一圈的宽度约为 Δr = λf / (2 r_n(end))。用上面的参数算一下：r_20 ≈ 1.03 mm，Δr ≈ 25.8 μm。取 L = 2.47 mm、N = 2048，像素约 1.2 μm，一个最外环约 21 个像素——这个采样密度做角谱传播是不会混叠的。

如果实际工作里波长或焦距让你算出最外环只有几个像素宽，就有两个方向：增大 N，或者利用波带片自带f/3、f/5次焦点的性质，用更少环带、更大最外环去等效模拟。

3. 角谱法传播：把波带片的场送到焦平面

3.1 为什么优先选角谱法而不是菲涅尔近似

菲涅尔近似的条件是把传播距离 z 与横向尺度的平方作比较，满足 z³ ≫ (π/4λ)·[(x−x')²+(y−y')²]² 才能用。对一块尺寸只有几个毫米、焦距 100 mm 的波带片，这个不等式常常刚好卡在边缘；更麻烦的是波带片边缘的环带宽度远小于中心环带宽度，对空间高频分量要求很高，菲涅尔近似对高频的相位误差会直接体现在焦斑旁瓣上。

角谱法把传播拆成两步：先用 FFT 把场分解成不同方向的空间频率，对每个分量乘上它自己的传播相位，再逆变换回来。它不需要任何横向尺度近似，唯一前提是采样要能覆盖最高空间频率，这正好和上一节的采样条件对上了。

3.2 传递函数 H(fx,fy) 在 MATLAB 中的实现

传播距离为 z 时，频率为 (fx, fy) 的平面波分量对应的传播相位是 exp(i·2πz·√(1/λ² − fx² − fy²))。当 fx² + fy² > 1/λ² 时是倏逝波，指数衰减，直接截零即可。

% ---------- 频率网格 ---------- fx = (-N/2:N/2-1) / L; % 与空间网格对偶 [FX, FY] = meshgrid(fx, fx); arg = 1/lambda^2 - FX.^2 - FY.^2; arg(arg < 0) = 0; % 倏逝波截断，防止开根号出复数 % ---------- 传播到设计焦平面 z = f ---------- z = f; H = exp(1i*2*pi*z*sqrt(arg)); % 传递函数，fftshift 格式 H = ifftshift(H); % 转成 fft2 需要的零频在角上的格式 U0 = ifftshift(T_amp); % 输入场同样转到零频在角上 Uz = fftshift(ifft2(fft2(U0) .* H)); I = abs(Uz).^2; % 焦平面强度 figure; imagesc(x*1e3, x*1e3, I); axis image; colormap hot; xlabel('x / mm'); ylabel('y / mm'); title('焦平面强度分布');

逻辑与参数说明：ifftshift与fftshift的位置必须对称，否则相当于把传递函数整体平移了半个窗口，结果会出现奇怪的对称破坏——这是角谱法里最常见的错误。arg < 0的分量截零对应忽略倏逝波，对波长和特征尺寸相差三个量级以上的波带片完全够用。若传播距离很大，还需要检查z·λ·fx_max是否超过 1，否则混叠会出现环状伪影，直观表现是焦斑外围多出很多不该有的同心条纹。

3.3 焦平面到中心点的采样够不够

用 FFT 做角谱传播时，输出平面的网格和输入完全一致，都是 L/N。这意味着焦斑分辨率受限于像素尺寸。理论焦斑半宽大约 0.61·λ/NA，用上面参数可估到 NA ≈ r_20/f ≈ 0.0103，半宽约 31 μm，而像素 1.2 μm，焦斑上能摊到二十几个点，画图和进一步做定量分析都够用。

提示：想看轴上强度，必须取到 N/2+1 那个索引（MATLAB 从 1 开始计数）。其余位置都不是严格中心，会让焦点位置测量出现偏移。

4. 沿 z 轴扫掠验证焦点位置与效率

4.1 用 z 扫掠找真实焦斑峰

把 H 里的 z 从 0.6f 一路扫到 1.4f，每次取轴上强度，就能画出轴上光强随距离的曲线。峰值位置应当落在设计焦距附近，偏差一般不超过几个百分点；如果偏差很大，先怀疑是 r_n 公式里第二项被漏掉，或者单位没统一。

z_list = linspace(0.6*f, 1.4*f, 81); I_axis = zeros(size(z_list)); for m = 1:numel(z_list) zz = z_list(m); H = exp(1i*2*pi*zz*sqrt(arg)); Uz = fftshift(ifft2(fft2(U0) .* ifftshift(H))); I_axis(m) = abs(Uz(N/2+1, N/2+1))^2; % 轴上中心点 end [~, idx] = max(I_axis); fprintf('设计焦距 %.4f m, 实测峰值 %.4f m\n', f, z_list(idx));

逻辑说明：sqrt(arg)在循环外算好一次能省不少时间，这里为了可读性写在表达式里也无妨；若 z 列表更长，建议提前把sqrt(arg)存成变量。参数 81 采样点足够看到主峰位置，想看次峰可以再加大范围，并把区间改到 0.1f~1.5f。

4.2 次焦点和振幅型的效率天花板

沿轴扫掠还会看到 f/3、f/5 附近出现更高阶的焦斑，它们分别对应相位差为 3π、5π 的波带组合。这正是波带片被用于多焦点成像和 X 射线相衬的物理基础，也是很多 matlab 图像处理论文里把“多平面重建”当成重点的原因——同一块器件在不同 z 处能聚焦不同相位信息。

振幅型波带片的理论聚焦效率只有 1/π² ≈ 10.1%，剩下的光要么被挡掉，要么被送到次焦点。想验证这个数值，把焦斑主瓣径向积分一遍，与入射到波带片孔径内的总能量相除，就能得到实际效率。如果测出来只有几个百分点，通常是被挡光的部分没从总入射能量里扣掉，或者焦斑积分半径取得太小，主瓣以外的能量漏算了。

注意：把总入射能量取成整个 N×N 矩阵的和是不对的，应当只统计落到波带片孔径R < r_n(end)内的部分。窗口外的空白是空气，不是入射光。

4.3 对比菲涅尔近似的差异，判断什么时候必须用角谱法

做教学演示时，可以顺手用菲涅尔近似写一条对照曲线：对输入场 fft2 之后乘一个二次相位 exp(iπz(fx²+fy²)/λ)，再逆变换。两条曲线在中心重合得很好，但一旦焦距缩短、环带数变多，菲涅尔近似会让第一个旁瓣被压低，甚至主峰位置轻微偏移。判定阈值可以简单记作：当最外环宽度 Δr 小于 5λ 时，菲涅尔近似的相位误差就开始肉眼可见，这时候必须回到角谱法。

5. 相位型波带片、多焦点结构与参数扫掠技巧

把透过率从“0/1”改成“0/π”是波带片模拟里性价比最高的一步。只改一行：

T_phase = exp(1i*pi*double(mod(zone_idx,2) == 1)); % 奇数环 π 相移

之后所有传播代码保持不变，把T_amp换成T_phase即可。理论效率会从约 10.1% 提升到约 40.5%，焦斑更亮，次焦点被明显压制。做 matlab 图像处理或者成像仿真时，相位型的点扩散函数旁瓣更低、对比度更好，是常用配置。

接下来是参数扫掠。十有八九你要看的不是一组参数，而是“不同环带数 / 不同焦距下焦斑半宽怎么变”。最省事的写法是向量化，把最内层空间坐标不动，只把r_n和T生成放进循环，传播还是用同一份频率网格arg和FX、FY，省下大量重复计算：

n_list = [10 20 30 40]; for m = 1:numel(n_list) rz = sqrt((1:n_list(m))'*lambda*f + ((1:n_list(m))'*lambda/2).^2); zone_idx = zeros(N); r_in = [0; rz(1:end-1)]; for k = 1:n_list(m) zone_idx(R >= r_in(k) & R < rz(k)) = k; end T = exp(1i*pi*double(mod(zone_idx,2)==1)); Uz = fftshift(ifft2(fft2(ifftshift(T)) .* ifftshift(H))); I = abs(Uz).^2; % 焦斑半高宽：对过中心的一行做归一化后取半高 line = I(N/2+1, :); [~, p] = max(line); fwhm = sum(line > max(line)/2) * (L/N); fprintf('环带数 %2d, 焦斑半高宽 %.2f μm\n', n_list(m), fwhm*1e6); end

逻辑说明：H和arg在循环外算好一次，是扫掠提速的关键；fwhm用“超过半高点的像素个数 × 像素尺寸”近似，比插值法糙一些，但对比较趋势足够了。想更精确可以在半高附近做线性插值，代码略长但结果顺滑。

最后一条实操经验：环带数一多，最外圈变细，很容易踩到采样不足；此时优先增大 N，而不是缩小 L。把 L 缩到只剩最外环半径的 1.1 倍，看起来像素变细了，但窗口截断会把轴上强度压低，扫掠出的效率会莫名其妙地低于理论值，很容易被误判成“相位型效率不对”。

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