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简介：本资源为2022年电工杯数学建模竞赛B题「5G网络环境下应急物资配送问题」的完整论文资料，面向备战数学建模竞赛的高校学生及对路径规划算法感兴趣的读者，可用于赛题复盘、算法选型参考与论文写作学习。压缩包内为1个PDF文件，约1.01MB，即该赛题的一等奖级别全文论文，含摘要、问题重述、模型假设、符号说明及各问模型建立与求解等完整章节，可直接对照题目研读建模思路。论文将类旅行商问题转化为车辆路径规划模型，问题一采用模拟退火与深度优先搜索求解，得配送里程582km；问题二用粒子群优化结合广度优先搜索，得配送时间380分钟；问题三、四以K-means划分区域后构建遗传算法车辆路径模型，并讨论两个物资集中地点的选址。读者可从中获取启发式算法的建模框架、目标函数与约束写法、流程图示及结果验证方法，如穷举法与SA+DFS的耗时对比，适合作为赛前模板与算法积累。目前已有4346人学习下载。

1. 从类 TSP 到 VRP：2022 电工杯 B 题的建模边界在哪

2022 年电工杯 B 题给的场景很具体：14 个地点、物资集中在第 9 个点、车辆载重 1000kg、总需求 782kg，第一问只让车辆跑。很多人拿到邻接矩阵就条件反射地套 TSP，结果卡在 2、3、4 这几个节点上——图是非完全图，从 3 号点出来只能回 5 号点，绕不开重复经过。782kg 没超过 1000kg，车不必回配送中心，可路径里又必须出现重复节点，这已经不是标准 TSP 了。到了第三问载重砍到 500kg，必须至少回中心一次；第四问 30 个点、1568kg、要选两个集散点，问题彻底滑向 VRP 加设施选址。真正决定模型成败的不是算法名字，而是先判断清楚图的连通结构、载重与需求量的比例关系，再决定要不要拆路径、拆几段。这套判断链条对做物流调度、无人机协同配送的人同样是通用技能。

2. 邻接矩阵预处理与 SA+DFS 求解类 TSP 路径

第一问的核心矛盾是：图不连通成完全图，但需求又允许一趟跑完，于是路径必然带重复节点。直接上模拟退火而不做预处理，搜索空间里全是非法解，迭代效率会被拖死。所以顺序必须是先修矩阵、再搜路径、最后退火微调。

2.1 邻接矩阵的两种填充值不能混

从附件读进来的距离表，空缺项和对角线要分开处理，否则算法会把"不可达"当成一条超长边反复走：

import numpy as np INF = 9999 # 14 个地点的邻接矩阵，行列为 0 基索引 dist = np.array([ [0, INF, INF, INF, 54, INF, 55, INF, INF, INF, 26, INF, INF, INF], [INF, 0, 56, INF, 18, INF, INF, INF, INF, INF, INF, INF, INF, INF], # ...省略中间行，按附件 1 逐行填入 ], dtype=float) # 对角线强制归零，防止数据源里残留非零值 np.fill_diagonal(dist, 0) # 不可达统一为 INF，别用 np.inf，否则累加后出现 nan dist[dist == 0] = 0

这段的关键是INF取 9999 而不是np.inf。路径代价做累加和比较时，np.inf一旦参与减法或概率计算会传染成 nan，后面 Metropolis 准则里的指数运算直接崩掉。

2.2 DFS 先给出一条合法初始路径

模拟退火需要一个可行的起点，否则前期大量迭代浪费在修复非法路径上。DFS 负责从配送中心出发，尽量遍历所有节点：

def dfs_path(start, dist, n): best = [start] visited = {start} def dfs(cur, path): nonlocal best if len(path) > len(best): best = path[:] # 按距离升序试邻居，优先走短边 for nxt in sorted(range(n), key=lambda x: dist[cur][x]): if nxt in visited or dist[cur][nxt] >= 9999: continue visited.add(nxt) path.append(nxt) dfs(nxt, path) path.pop() visited.remove(nxt) dfs(start, [start]) return best

visited用集合而不是布尔数组，是因为这个图存在必须重复经过的节点，DFS 阶段的"访问过"只约束本次尝试，不能全局锁死。sorted(..., key=dist[cur][x])让搜索优先走短边，得到的初始路径质量更高，退火收敛更快。

2.3 扰动加 Metropolis 准则才是退火的本质

初始路径定下来后，对路径施加扰动生成新路径，按代价差决定是否接受。核心是允许以一定概率接受更差的解，跳出局部最优：

import math, random def sa_solve(dist, init, T0=1000.0, alpha=0.95, iters=2000): cur = init[:] cur_cost = path_cost(cur, dist) best, best_cost = cur[:], cur_cost T = T0 for _ in range(iters): new = perturb(cur, dist) # 交换两个节点或插入新节点 new_cost = path_cost(new, dist) delta = new_cost - cur_cost # delta < 0 直接接受；否则按 exp(-delta/T) 概率接受 if delta < 0 or random.random() < math.exp(-delta / T): cur, cur_cost = new, new_cost if cur_cost < best_cost: best, best_cost = cur[:], cur_cost T *= alpha return best, best_cost

T0=1000给的是初始温度，量级参考单段最长边 61km 的十几倍，保证早期接受率足够高；alpha=0.95是降温系数，2000 次迭代后温度约剩 1000×0.95²⁰⁰⁰，早已趋近 0，末段基本只接受更优解。算例里迭代约 200 次结果就稳定不再变化，说明iters=2000留了足够冗余。

2.4 用穷举反向验证，而不是自我感觉

这类题最怕"算法跑出来就说最优"。第一问规模小，可以穷举对照：总共 147258 种可行路径，穷举耗时 139.816s，SA+DFS 只要 3.79s，拿到的最优路径是 9→13→14→10→6→4→6→5→3→2→5→7→1→11→12→8→9，总里程 582km。两套结果一致，说明加速没有牺牲精度。规模一上来穷举必然失效，这个对照只做一次，用来标定模型可信度就够。

3. 车辆+无人机协同的 PSO+BFS 求解与 epoch 调参

第二问引入无人机后，车辆能走实线，无人机还能走虚线。两条路径同时可变，直接联合优化维度太高，论文选择先定车、再定机，这个解耦思路在车机协同调度里是常规操作。

3.1 先车后机：解耦降低搜索维度

物资总量仍是 782kg，车辆一趟能装完，所以车不用回第 9 点。需求量大、或者只走实线的点交给车辆，其余点用无人机覆盖。判断顺序是：先把每个地点的物资需求量排序，需求量大的地方车辆必要性高，排出优先级序列，再据此确定车辆主干路径。这样做的好处是把"车辆路径 × 无人机路径"的组合爆炸压成了两级搜索——外层改车，内层重算机。

3.2 BFS 枚举无人机的可达投放点

车辆主干确定后，每个车辆停靠点都可能放无人机。可用节点集合要动态维护：

from collections import deque def bfs_drone(root, avail, drone_adj): """从车辆停靠点 root 出发，BFS 找出无人机可达且尚未被占用的节点""" q = deque([root]) seen = {root} reachable = [] while q: cur = q.popleft() for nxt in drone_adj[cur]: if nxt in seen or nxt not in avail: continue seen.add(nxt) reachable.append(nxt) q.append(nxt) return reachable

avail是"全部节点减去车辆路径已用和即将使用的节点"，每趟循环结束后要把本次无人机用过的点从avail里减掉，否则同一个点会被车和无人机重复服务。drone_adj包含虚线边，和车辆邻接矩阵不是同一张表，必须单独构建，这点在代码里最容易出错。

3.3 PSO 的粒子就是一组无人机指派方案

把 BFS 搜出的候选指派方案作为初始粒子群，适应度同时看时间和里程：

def fitness(plan, t_norm, s_norm, w1=0.6, w2=0.4): # t_norm、s_norm 分别把时间和里程归一化到同一量纲 return w1 * t_norm(plan) + w2 * s_norm(plan) def pso_run(particles, epochs=10000): gbest = min(particles, key=fitness) for _ in range(epochs): for p in particles: p.update(gbest) # 向全局最优靠拢 if fitness(p) < fitness(gbest): gbest = p return gbest

w1取 0.6 是把时间作为主目标，因为题面问的是配送时间；epochs=10000不是拍脑袋，论文专门跑了不同轮数对比，10000 轮时拿到最优解的概率超过 98%。

3.4 结果复盘：40 次只中 23 次的真实原因

最终车辆路径为 9→8→7→5→2→5→6→10→9，各段对应的无人机任务如下：

总时间 380 分钟。看起来漂亮，但实际跑 40 次只有 23 次收敛到该结果。原因是 PSO 的修改是自上而下、只动后方不动前方：初始车辆路径一旦选歪，后续任何无人机指派都救不回来，直接锁死在局部最优。这个坑的通用解法是加多次随机重启，或者对车辆路径本身也做小扰动。另外该问题可行解超过 2000000 种，穷举验证不现实，只能横向比较多次运行结果，用 50% 以上的命中率说明模型可用。

4. 载重 500kg 下的 K-means+GA 车辆路径规划

第三问把载重压到 500kg，需求 782kg，一趟装不下，车辆至少要回配送中心一次。这时候再当成整条 TSP 处理就错了，得换成 VRP：每一次"出中心—服务若干点—回中心"算一条独立路径，多条路径组成总方案。

4.1 染色体编码：全排列加分隔符

GA 里最讲究的是编码方式，这里用"非完全排列 + 若干 0"来表示方案：

import random def encode(nodes, num_routes=2): """全排列后插入 num_routes-1 个 0，0 把序列切成多段，每段是一条车路径""" perm = nodes[:] random.shuffle(perm) for _ in range(num_routes - 1): perm.insert(random.randint(1, len(perm) - 1), 0) return perm def decode(chrom): routes, cur = [], [] for g in chrom: if g == 0: if cur: routes.append(cur) cur = [] else: cur.append(g) if cur: routes.append(cur) return routes

比如6 8 7 9 0 6 5 4 1 2 3解码成两条路径，第一条服务 8、7、9，第二条服务 6、5、4、1、2、3，起点和返回中心在解码时自动补齐，不用写进染色体，能省一大截长度。

4.2 合法性校验与适应度函数

随机生成的个体经常超载，必须在分割阶段按载重和里程重新划分：

def is_valid(routes, demand, cap=500): return all(sum(demand[n] for n in r) <= cap for r in routes) def fitness(chrom, dist, demand, w=(0.5, 0.3, 0.2)): routes = decode(chrom) if not is_valid(routes, demand): return -1e9 # 非法个体直接给极低适应度 t = total_time(routes, dist) s = total_distance(routes, dist) n = len(routes) wt, ws, wn = w return -(wt * t + ws * s + wn * n) # 取负，越大越好

适应度里同时压时间、里程和车辆数，三个权重都取正数，方向是越小越好，所以整体取负号转成最大化问题。is_valid里的 500 就是本题载重上限，换成第四问的数值即可复用。

4.3 只做变异、不做交叉的取舍

标准 GA 有交叉和变异两步，这里刻意去掉了交叉，理由是交叉容易产生非法个体，还得额外写修复逻辑；而变异本身就带交换语义，反复交换已经足够维持种群多样性：

def mutate(chrom, dist): new = chrom[:] i, j = random.sample(range(len(new)), 2) new[i], new[j] = new[j], new[i] if not legal_by_graph(decode(new), dist): return chrom # 变异失败则原样返回 return new

legal_by_graph检查相邻两节点在邻接矩阵里是否可达。写法上先交换再校验，非法就回滚，好处是变异后个体必然合法，不需要额外的修复算子。代价是部分变异被浪费，但换来的是实现简单和收敛稳定。

4.4 聚类预分区与收敛判定

问题三先用 K-means 把节点硬聚类成两片：8、7、5、2、1、11、12、13 一片，3、4、6、10、14 一片，两片分别跑 GA。最终两条路径为：路径 1 车走 9→6→10→9，路径 2 车走 9→8→7→5→2→5→9，第一趟 238kg、第二趟 494kg，总时间 408 分钟。

from sklearn.cluster import KMeans coords = load_coords() # 各地点坐标 km = KMeans(n_clusters=2, n_init=100, random_state=0) labels = km.fit_predict(coords)

n_init=100是为了降低随机初始化带来的波动，问题四里索性把整个聚类加 GA 的过程重复跑 100 次，只有 100 次结果的极差落在阈值内才认定收敛。这种"内层 GA + 外层聚类重复"的双层验证，代价是时间，换来的是结果可信。

5. 多中心选址与 OR-Tools 对照校验的实操技巧

第四问 30 个点、总需求 1568kg、要选两个集散中心，思路是先把 30 个点用 K-means 分成两片，再对每片当成独立的 VRP 跑 GA。聚类结果落在第 5 点和第 20 点，第一类覆盖 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、18，第二类覆盖 15、16、17、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30。第二类明显更分散，这也是最终两条路径长度差异大的直接原因。

实际方案里，第一类车辆分两次出发，第二类同样分两次，无人机按段补盲，具体配对如下表：

想让上面这套手写启发式的结果更硬，可以用 OR-Tools 的约束求解器做一次独立对照，附录里的脚本就是这么用的：

from ortools.constraint_solver import routing_enums_pb2 from ortools.constraint_solver import pywrapcp def create_data_model(): data = {} data['distance_matrix'] = DIST # 从附件读入，不可达填 999999 data['num_vehicles'] = 1 data['depot'] = 3 # 注意这里的索引口径 return data def main(): data = create_data_model() manager = pywrapcp.RoutingIndexManager( len(data['distance_matrix']), data['num_vehicles'], data['depot']) routing = pywrapcp.RoutingModel(manager) def distance_callback(from_index, to_index): f = manager.IndexToNode(from_index) t = manager.IndexToNode(to_index) return data['distance_matrix'][f][t] cb = routing.RegisterTransitCallback(distance_callback) routing.SetArcCostEvaluatorOfAllVehicles(cb) params = pywrapcp.DefaultRoutingSearchParameters() params.first_solution_strategy = ( routing_enums_pb2.FirstSolutionStrategy.PATH_CHEAPEST_ARC) solution = routing.SolveWithParameters(params) print(solution.ObjectiveValue() if solution else 'no solution') if __name__ == '__main__': main()

几个实操要点。第一，depot的索引口径必须和主程序统一：如果 SA/DFS 用的是从 1 开始的地点编号，接入 OR-Tools 前要整体减 1，附录脚本里depot = 3与手写程序的编号方式并不一致，直接照抄会导致起点错位、结果对不上。第二，PATH_CHEAPEST_ARC只负责生成第一个可行解，属于构造式启发式，对多车辆、带载重约束的场景必须再加Dimension约束，单靠它不会考虑容量。第三，distance_matrix里不可达边填 999999 这类大整数，求解器会主动绕开，但填得太大叠加后会溢出，取值控制在一百万量级比较稳。第四，验证时不要只对比总代价，把路径序列打出来逐点核对，OR-Tools 对等价路径的节点顺序和手写算法经常不同，只比数字会误判成"结果不一致"。重复跑聚类加 GA 100 次、观察极差是否收敛，比盯单次运行结果更能说明模型到底稳不稳。

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