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简介：面向全国大学生数学建模竞赛参赛者及运筹优化学习者，这份资源围绕2004年高教社杯CUMCM A题“奥运会临时超市网点设计”给出完整参赛解决方案。压缩包内共6个文件，包含4个Matlab脚本（.m）、1个Access数据库（.mdb）和1个赛题文档（.doc），整体仅1.5MB，轻量但内容紧凑，同时兼顾建模代码、原始数据与题目说明。已有292人浏览学习，适合备赛参考或复现经典赛题。资源不仅提供可运行的求解程序，还覆盖线性规划、遗传算法、模拟退火等关键优化思想，并结合需求预测、选址建模、结果可视化等环节，一步步还原从原始数据到最终布局方案的建模过程，帮助读者深入理解运筹优化模型的构建与Matlab实现，切实提升数学建模与编程实战能力。

1. 从CUMCM2004A题看Matlab求解临时超市选址的完整路径

拿到高教社杯全国大学生数学建模竞赛(CUMCM2004A题)时，最常见的误区是立刻在网上搜“奥运会临时超市网点设计Matlab源码”，然后直接改数跑结果。真正让这道题从“解出来”变成“能获奖”的，是把题目给出的观众小区分布、场馆坐标、购物概率和超市容量约束，转成一组可以被Matlab优化工具箱处理的稀疏矩阵和整数规划模型。这道题表面是商业选址，本质上是带容量约束的集合覆盖与需求分配问题。下面按“建模—数据预处理—求解—验证”的顺序，给出一套用Matlab复现时可落地的代码路径，包含每个参数为什么这么设，以及替换数据后需要改哪些变量。

2. 先把题面翻译成数学模型：变量、目标函数与约束条件

2.1 从“网点设计”到集合覆盖：定义下标集合

常见做法是把问题拆成两类实体：需求点和候选网点。题目通常给出若干个观众居住小区（或观众来源区），每个小区有固定人数，并给出每个小区到各个场馆的人流概率；临时超市则安排在候选位置，比如场馆周边的空地或道路节点。为了建立可求解模型，需要先定义以下集合：

• (S)：观众需求点集合，大小为 (N_s)，每个点 (s) 有需求量 (d_s)。
• (J)：候选超市网点集合，大小为 (N_j)，每个候选点 (j) 有最大服务容量 (c_j)。
• (K)：场馆或热点区域集合，用于把需求点与场馆之间的距离纳入目标。

题目给的“人流数据”往往不是现成的需求点，而是“小区—场馆”的OD量。所以第一步是把OD矩阵按概率折算成每个小时的总购物人数，再聚合到需求点坐标上。这个过程不只是读Excel，还要做空间重采样。在Matlab里，建议用结构体或table保存原始数据，而不是散落的工作区变量：

% 读取题目附带的观众小区数据 raw = readtable('demand_points.csv'); % 假设有两列坐标x,y和人数pop s.x = raw.x; s.y = raw.y; s.demand = raw.pop; % 若人数是全天总量，需要按题目给的购物时间窗口折算 N_s = height(raw);

这里把需求点直接存成结构体 (s)，后面的距离计算和矩阵构建都基于这个结构体。注意需求量不是人口普查人数，而是“有购物意愿且在该时段到场馆的人数”，题目往往给出比例，常见做法是乘以一个购物系数 (\alpha)，这个系数在后面会作为敏感性分析的变量。

2.2 目标函数：覆盖需求最大化与总步行距离最小化

CUMCM2004A题常见的评阅标准会让选手权衡两个指标：一个是满足的购物需求总量，另一个是观众到最近超市的平均距离。在数学上可以写成双目标，但为了用Matlab的整数线性规划求解，通常把其中一个转成约束，或者线性加权。

如果以“最小化总步行距离”为主目标，可以写成：

[ \min \sum_{s \in S}\sum_{j \in J} t_{s,j} \cdot y_{s,j} \cdot d_s ]

其中 (y_{s,j}) 是0-1变量，表示需求点 (s) 是否被分配给候选网点 (j)，(t_{s,j}) 是两者步行距离。同时需要引入另一个0-1变量 (x_j) 表示是否在候选点 (j) 建超市。

如果以“最大化覆盖需求”为目标，则目标函数为：

[ \max \sum_{s \in S}\sum_{j \in J} y_{s,j} \cdot d_s ]

实际建模中我一般取前者，因为它对“临时超市”场景更直观：临时网点本身是服务设施，观众不会跑太远。下面的推导都按最小化总距离展开，但切换目标时只要改Matlab的f向量即可。

2.3 三类核心约束：容量、唯一分配与覆盖半径

约束条件决定了模型能不能用线性规划解。第一类是每个候选超市的容量上限：

[ \sum_{s \in S} d_s \cdot y_{s,j} \le c_j \cdot x_j, \quad \forall j \in J ]

这里 (c_j) 是最大服务人数，和超市面积、平均购物时间、营业窗口时长相关。如果题目给出的容量单位不是“人/小时”，需要先换算。

第二类是每个需求点只能被一个已开放网点服务：

[ \sum_{j \in J} y_{s,j} = 1, \quad \forall s \in S ]

第三类是覆盖半径约束，只有距离小于阈值的需求点才能被分配：

[ y_{s,j} \le a_{s,j} ]

其中 (a_{s,j}) 是0-1可达矩阵，由距离阈值 (\tau) 生成。虽然第三类约束可以由距离下限隐含，但显式写出能减少变量组合，让整数规划求解更快。

这三类约束组合起来，就是一个典型的带容量约束的选址-分配问题。因为决策变量 (x_j) 和 (y_{s,j}) 都是整数，所以需要调用整数规划求解器。下面的表总结了所有符号和对应Matlab变量名：

2.4 用Matlab构建模型矩阵的骨架代码

把上面的模型转成intlinprog能接受的矩阵形式，最关键的是把双下标变量 (y_{s,j}) 展成一维向量。常见做法是按列展开，即idx(s,j) = (j-1)*N_s + s。下面这段代码构建目标函数和容量约束：

% 假设已有 dist 矩阵、 cap 向量、 demand 向量 N_s = length(s.demand); N_j = length(cap); % 决策变量顺序： x(1)..x(N_j) 为建点变量， y(s,j) 展开在后面 n_x = N_j; n_y = N_s * N_j; f = zeros(n_x + n_y, 1); % 目标：距离 * 需求量，只作用于 y 变量 for j = 1:N_j for k = 1:N_s idx_y = n_x + (j-1)*N_s + k; f(idx_y) = dist(k,j) * s.demand(k); end end % 容量约束： sum_s demand(s) * y(s,j) <= cap(j) * x(j) A = zeros(N_j, n_x + n_y); b = zeros(N_j, 1); for j = 1:N_j % 对应 x(j) 的系数是 -cap(j)，因为 cap(j)*x(j) 移到左边为 -cap(j) A(j, j) = -cap(j); for k = 1:N_s idx_y = n_x + (j-1)*N_s + k; A(j, idx_y) = s.demand(k); end end

这段代码的意义是：用矩阵A同时表达容量约束和0-1变量的关系。注意A(j, j) = -cap(j)是让不等式变为 (\sum demand \cdot y - cap \cdot x \le 0)。这样写比直接在循环里拼intlinprog的输入更容易检查错误。实际调试时，我会先打印A(1,:)前10个非零元素，确认idx_y映射没有错位。

3. 数据预处理：从原始人流数据到可分块的稀疏矩阵

3.1 题目数据读入Matlab：先做清洗，再谈建模

CUMCM2004A题通常附带Excel或CSV文件，里面往往混合了文本表头、单位行和空行。如果直接readtable，会出现NaN或字符串变量混入数值列。推荐的做法是先读成table，再用ismissing找到缺测点，最后按列类型转换。下面代码处理常见格式：

T = readtable('CUMCM2004A_data.csv', 'VariableNamingRule', 'preserve'); % 去掉全空的行 T = rmmissing(T); % 把小区编号列转成字符串，如果原来是文本 if iscell(T{:,1}) id = string(T{:,1}); end % 取出坐标和人数列，列名按实际文件调整 coords = [T{:, 'x_coord'}, T{:, 'y_coord'}]; pop = T{:, 'population'}; % 有些题目会给出“购物概率”，这里直接乘上去 shopping_prob = 0.65; % 这个值来自题目附表或假设 demand = pop .* shopping_prob;

这里有一个容易踩的坑：题目给的人流量可能是“全天总客流”，但临时超市只在比赛前后营业3到4小时，所以必须把全天量除以营业时段数，否则容量约束会严重失配。我一般会先画出demand的直方图，如果最大值超过候选点容量的几十倍，就要检查是不是忘记换算时间窗口。

3.2 坐标转距离矩阵：pdist2、矩阵广播和循环的取舍

需求点到候选点的距离矩阵是后续建模的核心。如果候选点数量不大（比如几百个），直接用pdist2最方便：

% 假设 demand_coords 是 N_s x 2， candidate_coords 是 N_j x 2 dist_matrix = pdist2(demand_coords, candidate_coords, 'euclidean');

pdist2计算的是直线距离，实际步行距离需要乘以一个绕行系数，常见取值在1.2到1.5之间。如果数据量达到几万，pdist2可能内存不够，这时用分块计算或者直接考虑用路网矩阵。三种方式的对比：

实际参赛时不必追求极致的距离精度，因为题目给的坐标已经是平面投影坐标，线性距离和真实步行距离差别不会影响网点数量级。重点是把dist_matrix转成0-1可达矩阵reachable：

cover_radius = 800; % 单位米，来自题目对“步行5分钟”的约束 reachable = dist_matrix <= cover_radius;

这里阈值是模型里最重要的一个超参数。后来做敏感性分析时，可以用这个阈值作为横轴观察结果变化。

3.3 生成候选网点：网格剖分与坐标聚类

题目不一定直接给候选点列表，有时候需要自己生成。最常见做法是把场馆周边区域划分成正方形网格，取每个网格中心作为候选点。这样做的好处是网点规模可控，且能覆盖整个区域。下面是生成候选点的代码：

% 由场馆坐标给出区域边界 x_min = min(stadium(:,1)) - 500; x_max = max(stadium(:,1)) + 500; y_min = min(stadium(:,2)) - 500; y_max = max(stadium(:,2)) + 500; grid_step = 300; % 每300米一个网格 [gx, gy] = meshgrid(x_min:grid_step:x_max, y_min:grid_step:y_max); candidate_coords = [gx(:), gy(:)];

网格步长直接决定候选点数量和求解难度。如果步长从300改为200，候选点数量会从约 (N_s) 级变成 (N_s \times 1.5^2)，整数规划耗时通常指数上升。所以建议先跑粗网格，快速验证模型正确性，再细化网格。

还有一种做法是用kmeans对需求点聚类，把聚类中心作为候选点。它能保证候选点贴近人流密集处，但缺点是会漏掉一些交通枢纽位置。如果题目中明确提到“可以在场馆出入口附近建点”，那么网格法中再加入出入口坐标即可。

3.4 预处理阶段最容易错的三个细节

第一是坐标单位。有的题给经纬度，有的给直角坐标，如果直接混用，距离会差几个数量级。处理方法是用deg2km或utm2deg转换，但更简单的是先看题目配图里的比例尺，把单位统一成“百米”或“米”。

第二是重复点。需求点里可能有多个小区在同一个坐标，如果不去重，会在距离矩阵里产生大量全同行，导致intlinprog出现退化。用unique(coords,'rows')合并，需求量累加。

第三是demand为0的点。如果某小区没有购物需求，保留它会白增加变量数量。我通常把demand < 1e-6的行直接过滤掉，这样在后期求解数据规模更小。

4. 求解策略：从intlinprog到遗传算法的切换

4.1 线性整数规划：用Matlab优化工具箱的intlinprog落地

当模型只有线性目标和线性约束时，优先用intlinprog。它来自Matlab优化工具箱，内置分支定界算法，对小规模问题（变量数几千个）能在几十秒内返回全局最优。调用时需要指定决策变量中哪些是整数。在CUMCM2004A题里，所有决策变量都是0-1变量，所以intcon = 1:num_vars。

intcon = 1:(n_x + n_y); lb = zeros(n_x + n_y, 1); ub = ones(n_x + n_y, 1); % 唯一分配约束：每个需求点只被一个网点服务 Aeq = zeros(N_s, n_x + n_y); beq = ones(N_s, 1); for k = 1:N_s for j = 1:N_j idx_y = n_x + (j-1)*N_s + k; Aeq(k, idx_y) = 1; end end % 调用求解器 options = optimoptions('intlinprog', 'Display', 'iter', 'MaxTime', 120); [x_opt, fval, exitflag] = intlinprog(f, intcon, A, b, Aeq, beq, lb, ub, options);

这段代码里A,b沿用上一章的容量约束，Aeq,beq实现唯一分配。运行后会得到x_opt向量，前N_j个是建点标志，后面是分配关系。注意exitflag不等于1时需要看x_opt中的NaN值，通常是没有可行解，而不是求解失败。

4.2 模型太大时，换成遗传算法ga找近似解

如果候选点超过500个，intlinprog可能会在分支定界时卡住。此时改用全局优化工具箱的ga来求次优解更实际。遗传算法的核心是写一个适应度函数，输入建点方案，输出总距离，并对违反容量约束的方案施加惩罚。

function total_cost = fitness_func(selected) % selected 是 0/1 向量，长度 N_j if sum(selected) == 0 total_cost = 1e8; return; end % 每个需求点找最近的开放网点 open_idx = find(selected); total_cost = 0; for s_idx = 1:N_s dist_to_open = dist_matrix(s_idx, open_idx); [mind, ~] = min(dist_to_open); total_cost = total_cost + demand(s_idx) * mind; end % 容量惩罚：开放网点总容量不够时加大惩罚 total_capacity = sum(cap(open_idx)); if total_capacity < sum(demand) total_cost = total_cost + 1e6 * (sum(demand) - total_capacity); end end

调用ga时需要设置种群大小和代数。适应度函数里的1e6是一个很大的惩罚系数，目的是让算法避开不可行解。注意ga默认求解最小化问题，所以适应度值越小越好。下面表格列出ga的关键参数及其推荐值：

4.3 整数规划与遗传算法的分工建议

从工程角度，我一般分两步走：先用intlinprog在放松网格密度下求一个精确解，作为上界参考；再把这个解转成initial_population喂给ga，让遗传算法在更细的网格上继续搜索。这样比直接让ga从随机解开始快很多。

需要注意ga的初始种群必须是矩阵，一行一个个体。可以把intlinprog的x_opt(1:N_j)作为第一个个体，其余个体用随机01向量。这样遗传算法在早期就能集中在高质量解附近。

4.4 求解失败的排查清单

遇到intlinprog提示“No feasible solution”，先检查三处：第一，所有需求点的总需求是否大于所有候选点容量之和，如果是，问题本身无解，需要增加候选点或放宽容量；第二，覆盖半径是否太小，导致某些需求点不在任何候选点覆盖范围内，打印sum(reachable,2)可以找到那些全0行；第三，容量约束矩阵A是否写反了不等号方向。

如果ga收敛很快但结果明显不合理，往往是惩罚系数太大或太小。太大导致算法只关心可行性，太小则容易产生容量超限的解。常见的做法是让惩罚系数为容量超限量的1000倍，然后看多次运行是否稳定。

5. 结果验证与网点调整的实用技巧

5.1 用热力图检查覆盖盲区

求解完成后，把需求点和网点画在一起，颜色表示需求量，圈表示服务半径，可以立刻发现哪些区域没有被覆盖。下面的代码画出覆盖热力图：

figure; scatter(demand_coords(:,1), demand_coords(:,2), 30, demand, 'filled'); hold on; open_j = find(x_opt(1:N_j) > 0.5); viscircles(candidate_coords(open_j,:), cover_radius * ones(size(open_j)), ... 'Color', 'red', 'LineWidth', 1.2); colorbar; xlabel('x 坐标'); ylabel('y 坐标'); title('需求点与开放超市覆盖范围');

如果发现某个需求点被多个圆圈覆盖，说明容量分配可能不均匀。可以通过查看Aeq对应的y变量来检查每个开放网点的实际负荷，并把手动调整候选点坐标作为下一步的输入。

5.2 用敏感性分析选定最优覆盖半径

CUMCM2004A题评分时很看重对参数的讨论。最直接的做法是把覆盖半径从600米逐步改到1200米，步长100米，每次调用同一个求解脚本记录总步行距离和开放网点数。把这个循环写成脚本，最后用plot画折线图。如果曲线在某一半径后变得平缓，那这个点就是合理的阈值。

5.3 把求解结果整理成可直接放进论文的表格

最后一步是把x_opt转成表格，输出选中网点的坐标和服务人数占比。可以用writetable生成Excel，方便在论文里直接截图：

selected_j = find(x_opt(1:N_j) > 0.5); out_table = table(candidate_coords(selected_j,1), candidate_coords(selected_j,2), ... cap(selected_j), 'VariableNames', {'x', 'y', 'capacity'}); out_table.served = zeros(height(out_table), 1); for jj = 1:length(selected_j) out_table.served(jj) = sum(demand(find_allocated_to_j(selected_j(jj)))); end writetable(out_table, 'resolved_networks.xlsx');

这里find_allocated_to_j是从y变量中还原每个网点服务了哪些需求点的小函数。整个流程跑通后，换一套数据只需要改第2章的readtable文件名和第3章的cover_radius。

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