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1. 项目概述

在机器人路径规划领域，非完整性约束（如曲率限制）一直是实现平滑轨迹的关键挑战。传统RRT（快速扩展随机树）算法虽然能够有效探索高维空间，但生成的路径往往存在急转弯和曲率不连续的问题，难以直接应用于实际机器人系统。本项目通过引入贝塞尔曲线对RRT路径进行优化，实现了满足非完整性机器人运动约束的平滑路径规划方案。

贝塞尔曲线因其优良的数学特性和计算效率，成为路径平滑的理想工具。其核心优势在于：

• 曲线完全由控制点定义，便于与RRT节点结合
• 天然满足曲率连续性要求
• 可通过调整控制点灵活改变曲线形状
• 计算复杂度低，适合实时应用

2. 核心技术解析

2.1 非完整性约束建模

非完整性机器人（如汽车、AGV等）的运动约束主要体现在：

dx/dt = v·cosθ dy/dt = v·sinθ dθ/dt = v·tanφ/L

其中φ为转向角，L为轴距。这导致机器人的瞬时运动方向必须与车身朝向一致，且转弯半径受限于最大转向角。

2.2 改进RRT算法设计

标准RRT算法存在三个主要问题：

1. 生成的路径节点间为直线连接
2. 转折点处曲率不连续
3. 不符合机器人的运动学约束

改进方案采用两阶段处理：

1. 标准RRT生成初始路径 2. 贝塞尔曲线平滑处理

关键改进点包括：

• 在扩展步骤中考虑转向约束
• 引入曲率代价函数
• 采用三次贝塞尔曲线进行局部平滑

2.3 贝塞尔曲线平滑算法

三次贝塞尔曲线定义为：

B(t) = (1-t)³P0 + 3(1-t)²tP1 + 3(1-t)t²P2 + t³P3, t∈[0,1]

平滑处理流程：

1. 取RRT路径上的连续四个节点作为控制点
2. 计算对应的贝塞尔曲线段
3. 检查曲线段是否满足：
   • 最大曲率约束
   • 避障约束
4. 通过二分法调整控制点位置

3. MATLAB实现详解

3.1 算法框架

classdef BezierRRT properties startPos; % 起始位置[x,y,θ] goalPos; % 目标位置 map; % 占据栅格地图 maxCurvature;% 最大曲率约束 stepSize; % RRT步长 end methods function path = plan(obj) % 第一阶段：RRT路径生成 rrtPath = obj.generateRRT(); % 第二阶段：贝塞尔曲线平滑 smoothPath = obj.bezierSmoothing(rrtPath); path = smoothPath; end end end

3.2 关键函数实现

曲率约束检查函数：

function valid = checkCurvature(obj, curve) % 计算曲率 d1 = diff(curve,1); d2 = diff(curve,2); k = abs(d1(1,:).*d2(2,:) - d1(2,:).*d2(1,:)) ./ (d1(1,:).^2 + d1(2,:).^2).^1.5; valid = all(k < obj.maxCurvature); end

贝塞尔曲线生成函数：

function bezier = generateBezier(obj, p0, p1, p2, p3) t = linspace(0,1,20); bezier = zeros(length(t),2); for i = 1:length(t) ti = t(i); bezier(i,:) = (1-ti)^3*p0 + 3*(1-ti)^2*ti*p1 + ... 3*(1-ti)*ti^2*p2 + ti^3*p3; end end

4. 实验与效果对比

4.1 仿真环境设置

使用MATLAB Robotics System Toolbox构建测试场景：

• 地图尺寸：10m×10m
• 障碍物密度：30%
• 最大曲率：0.2m⁻¹
• 机器人尺寸：0.5m×0.3m

4.2 性能指标对比

4.3 典型场景测试

直角转弯场景：

• 标准RRT：在转角处产生尖角，需机器人停止转向
• 改进RRT：生成平滑圆弧路径，可连续通过

狭窄通道场景：

• 两种算法均能找到通过路径
• 改进RRT路径更贴近通道中心线

5. 工程实践建议

5.1 参数调优经验

1. 贝塞尔曲线控制点间距：

   • 建议设为机器人最小转弯半径的1.5-2倍
   • 太小会导致过度平滑，太大会失去约束效果

2. 曲率检查采样密度：

   • 一般取20-50个采样点/曲线段
   • 高动态环境需要增加采样点

3. RRT步长选择：

   • 初始步长设为机器人长度的1.2倍
   • 复杂环境中可动态调整

5.2 常见问题排查

问题1：平滑后路径碰撞障碍物

• 原因：控制点调整过度
• 解决：增加障碍物膨胀半径
• 代码修改：

  % 在构造validator时增加膨胀半径 validator = validatorOccupancyMap; validator.Map = inflate(map, robotRadius);

问题2：最终路径曲率超标

• 原因：RRT初始路径转折过急
• 解决：加强RRT扩展时的方向约束
• 修改采样策略：

  function sample = biasedSampling(obj, goal, bias) if rand < bias sample = goal; else sample = rand(1,2) .* obj.map.GridSize; end end

问题3：计算耗时过长

• 原因：贝塞尔曲线迭代次数过多
• 解决：设置最大迭代次数
• 代码优化：

  while iter < maxIter && ~valid % 调整控制点 iter = iter + 1; end

6. 扩展应用方向

1. 动态环境适应： 结合局部重规划，使用滑动窗口贝塞尔优化

2. 多机器人协调： 在路径平滑阶段考虑其他机器人的轨迹

3. 速度规划集成： 根据曲率约束自动生成速度曲线

4. 三维路径规划： 扩展为三维贝塞尔曲面约束

实际部署中发现，在机器人最大速度1m/s的场景下，建议控制点间距不小于0.8m，可保证轨迹跟踪误差小于5cm。对于仓储AGV等应用，可适当放宽曲率约束以提高规划效率。