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简介：《除法的由来》是一份以数学史为主题的 Word 文档，面向小学数学教师、学生及数学文化爱好者，系统梳理除法运算在中国从先秦到汉唐的发展脉络。文档围绕《筭数书》中七类十九种除法表示法、五十五条运算规则，以及算筹与口诀相结合的实用计算方式展开，并援引《孙子算经》“凡除之法，与乘正异”来说明古人对乘除本质区别的洞察，适合用于备课补充、数学文化拓展阅读或课件素材整理。

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1. 除法这个运算，到底在解决什么核心问题

想讲清楚除法的由来，得先想清楚一个问题：除法这一运算，到底是在做什么？

很多老师讲除法时，会直接告诉学生“除法就是平均分”，但这句话只说对了一半。除法其实包含两种完全不同的含义。第一种是“等分除”，比如把12个苹果平均放到3个盘子里，每盘几个？这种问题里，已知总数和份数，求每份的数量。第二种是“包含除”，比如12个苹果每4个装一袋，能装几袋？这种问题里，已知总数和每份的数量，求能分成几份。

这两种含义的区别，学生在做题时往往意识不到，但回归到除法“由来”这个源头，两种含义恰恰对应了人类历史上不同的实际需求。古人分猎物、分粮食，需要的是“等分除”；古人计算一块布能做几件衣服、一筐粮食能吃几天，需要的是“包含除”。可以说，除法从诞生那天起，就是被生活逼出来的。

我写这篇博文的起因，是准备一堂数学文化课。当时翻教材，发现教材对除法由来只有一句话，学生也老问“除法到底谁发明的”，于是我就做了一次完整的资料梳理，结合课上试讲的经验整理成文。这篇内容既适合小学数学老师备课参考，也适合家长给孩子讲数学故事，甚至对任何好奇“数学符号从哪来”的读者都有价值。

2. 古文明里的除法：没有除号，古人怎么算

2.1 古埃及：靠“翻倍相加”硬算出来

古埃及人的数学水平相当高，但他们没有九九乘法表，也没有除法符号。他们怎么算除法？答案是：全部转化成加法。

今天我们把除法看作乘法的逆运算，古埃及人虽然也这样想，但他们的执行方式很特别。以“96 ÷ 12”为例，古埃及人的做法是：看看12要翻倍多少次，才能凑到96。12翻倍是24，再翻倍是48，再翻倍是96。他们就会记录：1个12是12，2个12是24，4个12是48，8个12是96。然后数一数，96是8个12，所以结果是8。

如果遇到除不尽的情况，比如“10 ÷ 3”，他们会用单位分数来处理。古埃及人把所有分数都写成单位分数的和，也就是分子为1的分数。10 ÷ 3他们会记成3加1/3再加1/3，总之想尽办法拆成分母不同的单位分数。今天看起来繁琐到极点，但这套方法在莱因德纸草书上完整保存下来，前后用了上千年。

我在课堂上跟学生讲这个时，会让他们自己动手“翻倍”一次。学生做完后的第一反应几乎都是“好麻烦”。但恰恰是这种“麻烦”，能让孩子体会到今天算法的简洁是几千年来逐步优化的结果。

2.2 古巴比伦：利用倒数表“化除为乘”

古巴比伦人走了一条完全不同的路。他们有成熟的六十进制计数法，还编制了大量数学用表，其中最关键的是“倒数表”。

倒数表的思路其实特别现代：除法本质上是乘以除数的倒数。比如古巴比伦人要算“a ÷ b”，他们不是直接做除法，而是查表找到“1/b”的值，再乘以a。这跟我们今天用计算器算除法时，心里默认“除以一个数等于乘以它的倒数”是完全同一个逻辑。

当然，他们的倒数表只列了有限个常见除数。遇到表里查不到的除数，就通过分解因数的方式间接查表。比如除数是8，倒数表里没有，但知道1/8等于1/2乘以1/4，查两个表再相乘就行。

这套方法给我的启发是：古人解决问题，第一步往往不是创造新运算，而是想办法把不会的转化成会的。这个思路本身，就是今天算法设计里“归约”思想的雏形。给学生讲清楚这一层，比单纯让他们记住除法法则更有价值。

2.3 中国古代：筹算和“商”字背后的智慧

中国古代数学家里，除法的最早成熟形式跟算筹密切相关。早在春秋战国时期，中国人就用小竹棍摆成行列进行计算，这就是筹算。算筹摆出来的数字是十进制的，加减乘除都能算，除法自然也不例外。

中国的筹算除法，流程上很像今天我们学的竖式。被除数叫“实”，除数叫“法”，除的过程叫“实如法而一”。用算筹摆好后，从高位到低位逐位去除，每一步的商都写在被除数的上方，余数继续参与下一位的计算。听到这你就明白了，我们现在学的除法竖式，基本骨架在两千多年前已经成形。

“商”这个字的选择也很有讲究。在古汉语里，“商”有“商量、估量”的意思。除法中每一步都要估一估“这一位能商几”，于是古人把这个动作直接命名为“商”。后来“商”就从动词变成了名词，表示除法的结果。一个字的演变，恰好记录了运算从动态过程到静态结果的转变。

我备课时还特意查过《九章算术》里的“经分术”，也就是分数除法法则。里面已经出现了“分母乘分母，分子乘分子”的操作，和今天的分数乘法法则完全一致。这说明中国古代数学对分数除法的理解，在汉代已经相当深入。

3. 从印度到阿拉伯：现代除法规则的形成

3.1 印度数学家给出了系统的分数除法规则

如果说古埃及和中国对除法的理解更多停留在操作层面，那印度数学家做的事情，就是把除法规则化、系统化。

公元7世纪，印度数学家婆罗摩笈多在他的著作中明确规定了有理数的运算规则，包括正数、负数和零的加减乘除。他对“零”的处理尤其特别：他承认“a ÷ 0”的运算，只是说结果是一个分母为零的分数。虽然从今天的数学体系看，这种处理不够严谨，但他至少把一个模糊的概念推到了台前，迫使后来的数学家必须直面“除以零”的问题。

更重要的贡献在于分数除法规则的明确化。今天我们教学生“除以一个分数，等于乘这个分数的倒数”，这个法则的雏形，在印度数学家的著作中已经可以找到。他们把“倒数”这个概念系统化，并把除法彻底转化为乘法来处理。

我在教学时喜欢补充一个细节：印度人用“颠倒”这个词描述“取倒数”的操作，用的比喻是把一个分数“头朝下倒过来”。这个说法特别形象，学生一下就记住了。

3.2 阿拉伯人：把“alogorithm”和除法连在一起

阿拉伯数学在除法演变中的角色，更像一个承上启下的传播者。花拉子米的名字“al-Khwarizmi”后来演变成英文“algorithm”，也就是算法的词源。他的著作把印度的十进制计数法和相关运算规则带到了阿拉伯世界，后来又通过拉丁文译本传入欧洲。

花拉子米在著作中详细描述了整数除法、分数除法的操作流程，强调运算必须按照一定步骤机械地进行。这种“步骤化”的思想，正是现代算法概念的早期雏形。他还在著作中专门讨论了如何通过验算检查除法结果，做法是“商乘以除数，加上余数，看是否等于被除数”。这个方法今天依然写在世界各国的数学教材里。

阿拉伯数学家用分数线的形式来表示分数，并且明确地把分母和分子的位置固定下来，这为后来“除号”的出现铺平了道路。可以说，没有阿拉伯人把分数表示标准化，后来欧洲数学家用一条横线表示除法就不可能那么自然。

4. 一个符号折腾了上千年：除号和分数线的故事

4.1 分数线：一条横线统一了“分”的表示

分数的现代表示法，源头可以追溯到阿拉伯人。他们在写分数时，把分子写在横线上方，分母写在横线下方，这条横线就叫“分数线”。这种表示方法传到欧洲后，很快被数学家接受，因为它比之前各种文字描述要直观得多。

但“分数线”和“除号”在一开始并不是一回事。分数线只管分数的书写，除法本身还是用文字或者缩写来表示。随着代数的发展，数学家越来越需要一个专门表示“除法”的符号。你可以想象，如果一个算式里既要写分数又要写除号，用文字描述会有多么混乱。

在16世纪的欧洲，人们开始试验各种除法的缩写方式。有人用一个点加一条短横表示除法，有人干脆用“÷”这个符号的前身——一个横线上下各加一个点的形式。符号的统一，是数学走向形式化的必然一步。

4.2 “÷”到底是谁发明的

今天全世界通用的“÷”符号，公认最早出现在1659年，出自瑞士数学家约翰·拉恩（Johann Rahn）的代数著作《Teutsche Algebra》。他在书中用这个符号表示除法，后来英国数学家约翰·佩尔（John Pell）在与拉恩的交流中接触到这个符号，并把它介绍给了英国数学界，从此逐渐传播开来。

不过要注意，“÷”在早期并没有立刻被全欧洲接受。很多数学家觉得这个符号容易跟减法混淆，坚持用分数线的形式表示除法。到今天，英美和部分亚洲国家普遍使用“÷”，但很多国际数学期刊、编程语言和科学计算软件里，除法仍然用“/”表示。这个细节恰好说明：数学符号的传播，受习惯和印刷技术的影响远比我们想象的大。

我查资料时还发现一个有趣的细节：在部分欧洲国家，比如挪威和丹麦，“÷”这个符号曾经被用作“减号”，直到很晚才统一为除号。同一个符号在不同文化里含义不同，这在数学史里不算罕见。

4.3 冒号“:”是莱布尼茨的贡献

除了“÷”和分数线，还有一个常见的除法符号是冒号“:”。这个符号的推广跟德国数学家莱布尼茨有直接关系。莱布尼茨非常在意数学符号的系统性，他认为“÷”看起来像个加减号，容易混乱，而冒号作为除号简洁、不易混淆，于是在他的论著中大力推荐使用“:”。

莱布尼茨的符号理念还体现在乘法上。他建议用点“·”表示乘法，避免和字母x混淆。这些符号建议后来大多被欧洲大陆的数学家接受，因此在德国、法国等国家的教材里，用冒号表示除法非常常见，而英国和美国则保留了“÷”。

我每次给五年级学生讲到这部分，都会顺手在黑板上写出“÷”、“:”、“/”三种符号，让他们猜哪种最古老。学生几乎都会猜“/”最古老，因为电脑上最常见。真相恰恰相反，“/”作为除法符号是最晚被广泛使用的，它完全是因为计算机和编程语言的普及才流行起来的。科技反过来影响数学符号的传播，这条线索本身就很有意思。

5. 数学课上怎么用“除法的由来”激活学生

5.1 一堂数学文化课的备课框架

如果你的目的是把“除法的由来”变成一堂可落地的课，我建议别把它上成纯粹的历史讲述课。历史只是线索，主线应该始终围绕“除法在解决什么问题”和“除法的表达方式经历了哪些变化”来展开。

我上课时的结构是四步：第一步，用一个真实问题引出两种除法，让学生区分“等分除”和“包含除”；第二步，给出古埃及、古巴比伦、中国三种古代算法，让学生分组尝试用古人的方法算题；第三步，展示除号、分数线、冒号的演变过程，让学生猜符号对应的年代；第四步，回到现代，讨论“为什么除以一个分数等于乘以它的倒数”，用历史脉络串联起来。

整节课不需要任何课件，只需要黑板、粉笔和几张小卡片。关键在于学生动手尝试古人的算法，这种“穿越感”会给他们留下很深的印象。

5.2 课堂活动设计实例：古埃及翻倍法挑战

具体操作上，我设计了一个“古埃及翻倍法挑战”的环节。每组学生拿到一张卡片，上面写着一个除法算式，比如“84 ÷ 7”，要求只能通过翻倍相加的方式算出结果，不准用竖式。

学生一开始会很不适应，因为他们习惯了直接调用乘法口诀。但很快他们就会发现规律：7翻倍一次是14，对应2个7；再翻倍是28，对应4个7；再翻倍是56，对应8个7。56加28正好是84，所以答案就是8加4等于12。

这个活动最大的价值，是让学生体会到“改写”的思维方式。他们会在操作中慢慢理解，除法不是靠背口诀“背”出来的，而是可以通过逻辑推理“推”出来的。有学生课后跟我说：“原来古人这么聪明，不用乘法表也能算除法。”那一刻我就知道，这节课的目标达到了。

5.3 从“符号故事”到“符号约定”：一节课自然升华

讲完符号演变后，可以顺势引导学生思考：既然历史上出现过这么多除法的表示方法，为什么今天我们还需要一个统一的规定？

这是个很有意思的开放性问题。学生会给出各种答案，有人说是为了方便交流，有人说是为了让不同国家的人看得懂，有人说是因为计算机只能识别标准符号。这些答案其实都指向同一个本质：数学符号是一种“约定”，而约定需要被广泛接受才能发挥力量。

这种理解，比单纯记住“除号是什么”要深刻得多。以后学生进入初中、高中，会遇到越来越多新符号，比如根号、绝对值、求和符号，如果他们理解了符号是“约定”的本质，就不会把符号当成死记硬背的负担。

6. 实践中的高频疑问，和处理它们的经验

6.1 学生总问：为什么不能除以零

上完这堂课之后，几乎每个班都会有学生追着问：为什么0不能做除数？这个问题其实是个极好的教学契机。

我会用乘除互逆关系来讲。如果“a ÷ 0 = b”成立，那根据除法的定义，应该有“b × 0 = a”。问题来了：任何数乘以0都等于0。如果a不是0，那根本找不到满足条件的b，也就是没有答案；如果a正好是0，那b可以是任何数，答案不唯一。两种情况都说明“除以0”没法给出一个确定的合理结果，所以干脆规定除数不能为0。

这个解释我在不同年级分别测试过。三年级的班级听到“任何数乘0都得0，所以找不到答案”就足够了；五年级的班级可以完整地讲完“无解和无数解”这两种情况；到了初中，唯一性问题就可以完全展开。同一块知识，在不同年龄段讲多深，本身就是教师专业能力的体现。

6.2 竖式除法的算理，不能只靠机械操练

不少学生竖式除法算得很熟练，但问他们“为什么十位上的余数要落下来接着除”，他们答不上来。这背后其实是位值制的问题。

竖式除法的每一步，都是在按位值拆解被除数。比如计算“492 ÷ 3”，第一步不是“4除以3”，而是“400除以3”，商写在百位，余下1个百，也就是100；第二步则是“190除以3”之类的东西，这实际上是把100拆成10个十，和十位上的9个十合并成19个十，再用19除以3。每一步都是前一阶段余数的“放大”和重新分配。

讲位值制原理时，我会用货币来类比：492元是4张100元、9张10元和2张1元，分给3个人，先从最大面额分起，分不掉的就换成下一级面额继续分。学生听完这个类比，再看竖式，很多就“通”了。

这两个高频问题的共性，是它们都不能用“记住规则”来回答，必须退回到概念的原点去重新推导。而概念的原点，恰恰就是我在“除法的由来”整条线索里反复强调的那些东西：平均分的过程、乘除互逆的关系、位值制的拆分逻辑。学数学文化，最终目的不是知道几个故事，而是把散落的知识点串成一张可以灵活调用的网。

我个人在实际教学中最深的体会是：历史故事讲得再热闹，如果没有落到算理层面，下课就忘了。反过来，如果只抓算理不讲由来，数学就变成了冷冰冰的规则堆砌。把两者缝在一起，才是这堂课真正有效的关键。

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