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在非线性系统中应用残熵算法进行故障检测，其核心在于利用残熵量化系统状态估计残差序列的不确定性或信息量变化，从而识别出与正常运行状态相偏离的故障模式。该方法通常与状态估计器（如粒子滤波器）结合，形成“估计-残差生成-特征提取-决策”的流程。

一、核心流程与算法框架

整个故障检测流程可分为四个主要步骤，如下表所示：

二、 关键技术实现详解

1. 基于粒子滤波器的状态估计与残差生成

粒子滤波器通过一组带权重的粒子来近似系统状态的后验概率分布，特别适合非线性非高斯系统。

% 粒子滤波器核心步骤伪代码 (以三水箱系统为例) function [x_est, residual] = particle_filter_fault_detection(y, sys_model, N_particles) % y: 当前时刻观测值 % sys_model: 包含状态转移f和观测函数h的系统模型 % N_particles: 粒子数 persistent particles weights % 粒子集和权重 % 1. 初始化 (仅第一次运行) if isempty(particles) particles = initialize_particles(N_particles); weights = ones(1, N_particles) / N_particles; end % 2. 预测步: 根据状态方程传播粒子 for i = 1:N_particles particles(i) = sys_model.f(particles(i)) + process_noise(); end % 3. 更新步: 根据观测更新权重 for i = 1:N_particles y_pred = sys_model.h(particles(i)); % 预测观测 residual_i = y - y_pred; % 单个粒子对应的残差 % 权重更新 (基于观测似然，例如高斯似然) weights(i) = weights(i) * gaussian_likelihood(residual_i, R); end weights = weights / sum(weights); % 权重归一化 % 4. 状态估计 (加权平均) x_est = sum(particles .* weights); % 5. 计算整体残差 (用于故障检测) y_pred_overall = sys_model.h(x_est); residual = y - y_pred_overall; % 6. 重采样 (避免粒子退化) [particles, weights] = systematic_resample(particles, weights); end

2. 残熵计算（以排列熵为例）

排列熵是一种衡量时间序列复杂度和随机性的方法，对非线性动力系统产生的序列敏感。

function [pe_value] = permutation_entropy(residual_sequence, m, tau) % residual_sequence: 残差时间序列 % m: 嵌入维度 (通常3-7) % tau: 时间延迟 (通常 1) n = length(residual_sequence); permutation_patterns = {}; pattern_counts = containers.Map('KeyType','char','ValueType','double'); % 1. 重构相空间并生成排列模式 for i = 1:(n - (m-1)*tau) % 提取子序列 subsequence = residual_sequence(i:tau:i+(m-1)*tau); % 获取排序后的索引，形成排列模式 [~, idx] = sort(subsequence); pattern = num2str(idx'1); % 转换为字符串，如'012'或'210' % 统计模式出现次数 if isKey(pattern_counts, pattern) pattern_counts(pattern) = pattern_counts(pattern) + 1; else pattern_counts(pattern) = 1; end end total_patterns = n - (m-1)*tau; patterns = keys(pattern_counts); pe = 0; % 2. 计算每种排列模式的概率和排列熵 for i = 1:length(patterns) p_i = pattern_counts(patterns{i}) / total_patterns; pe = pe - p_i * log2(p_i); end % 3. 归一化 (除以log2(m!)) pe_value = pe / log2(factorial(m)); end% 在线计算示例residual_window = buffer(residual, window_length); % 滑动窗口获取残差序列 current_pe = permutation_entropy(residual_window, m=4, tau=1);

3. 故障决策与阈值设定

故障决策基于残熵值是否偏离正常基线。

% 基于统计控制的阈值设定与故障决策 function [is_fault, alarm] = fault_decision(current_pe, pe_normal_data, confidence_level) % current_pe: 当前时刻的排列熵值 % pe_normal_data: 正常工况下收集的排列熵历史数据 % confidence_level: 置信水平，如0.95或0.99 % 计算正常工况下残熵的均值和标准差 mu_pe = mean(pe_normal_data); sigma_pe = std(pe_normal_data); % 设置控制限 (例如，使用3-sigma原则或基于分布) UCL = mu_pe + confidence_level * sigma_pe; % 上控制限 LCL = mu_pe - confidence_level * sigma_pe; % 下控制限 (可选) % 故障决策 if current_pe > UCL % 或 current_pe < LCL is_fault = true; alarm = 1; else is_fault = false; alarm = 0; end % 可选：使用T²或Q统计量进行多元监控（当有多个残熵特征时） % 参考KPCA方法 end

三、 与KPCA方法的对比与结合

残熵方法侧重于从时间序列的动态复杂性角度检测故障，而如核主成分分析（KPCA）等方法则侧重于从多变量观测数据的空间相关性角度进行检测。两者可结合使用。

四、 应用实例：三水箱系统故障检测

以三水箱互连系统为例，其非线性模型为：

$$
\begin{aligned}
\dot{h}1 &= \frac{1}{A_1}(Q{in} - C_{1}\sqrt{h_1 - h_3}) \
\dot{h}2 &= \frac{1}{A_2}(C{1}\sqrt{h_1 - h_3} - C_{2}\sqrt{h_2}) \
\dot{h}3 &= \frac{1}{A_3}(C{1}\sqrt{h_1 - h_3} - C_{3}\sqrt{h_3})
\end{aligned}
$$
其中 $h_i$ 为液位，$C_i$ 为流量系数。

故障注入与检测流程：

1. 正常建模：在无故障下运行粒子滤波器，收集残差并计算排列熵，建立正常基线 $\mu_{pe}, \sigma_{pe}$。
2. 故障模拟：注入故障，如：
   • 传感器偏置故障：$y_{fault} = y_{true} + bias$。
   • 执行器效率下降：$Q_{in, fault} = \eta \cdot Q_{in, cmd}, \eta < 1$。
   • 泄漏故障：在状态方程中增加泄漏项 $-\lambda h_i$。
3. 在线检测：
   • 实时运行粒子滤波器，获取残差序列。
   • 滑动窗口计算排列熵 $PE_t$。
   • 判断 $PE_t$ 是否超过阈值 $UCL = \mu_{pe} + 3\sigma_{pe}$。
4. 性能评估：使用检测延迟、误报率、漏报率等指标评估。研究表明，粒子滤波器结合残熵方法在非线性系统故障检测中，对多种故障类型均能有效响应，且通常比基于EKF的方法更鲁棒。

关键参数选择建议：

• 粒子数：需在估计精度和计算量间折衷，通常数百到数千。
• 排列熵参数：嵌入维度 $m$ 一般取 3-7，延迟 $\tau$ 取1。
• 滑动窗口长度：应包含足够动态信息，通常为系统主要时间常数的数倍。
• 检测阈值：基于历史正常数据统计确定，可使用3-sigma或更严格的百分位数。

参考来源

• 【故障检测】基于粒子过滤器实现三水箱互连水箱系统状态估计附Matlab代码
• 【故障检测】基于粒子过滤器实现三水箱互连水箱系统状态估计附Matlab代码
• 【故障检测】基于粒子过滤器实现三水箱互连水箱系统状态估计附Matlab代码
• 【故障检测】基于粒子过滤器实现三水箱互连水箱系统状态估计附Matlab代码
• 【故障检测】基于 KPCA 的故障检测【T2 和 Q 统计指数的可视化】附Matlab代码