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👨‍💻做科研，涉及到一个深在的思想系统，需要科研者逻辑缜密，踏实认真，但是不能只是努力，很多时候借力比努力更重要，然后还要有仰望星空的创新点和启发点。当哲学课上老师问你什么是科学，什么是电的时候，不要觉得这些问题搞笑。哲学是科学之母，哲学就是追究终极问题，寻找那些不言自明只有小孩子会问的但是你却回答不出来的问题。建议读者按目录次序逐一浏览，免得骤然跌入幽暗的迷宫找不到来时的路，它不足为你揭示全部问题的答案，但若能让人胸中升起一朵朵疑云，也未尝不会酿成晚霞斑斓的别一番景致，万一它居然给你带来了一场精神世界的苦雨，那就借机洗刷一下原来存放在那儿的“躺平”上的尘埃吧。

或许，雨过云收，神驰的天地更清朗.......🔎🔎🔎

💥1 概述

【FDTD+UPML+全场/散射场】具有TF/SF接口和UPML吸收边界的2D FDTD研究文档

包含：
1.用于同时计算TE和TM模式的2D FDTD算法，
2.单轴PML吸收边界条件，
3. 用于平面电磁波散射问题研究的总场/散射场（TF/SF）界面。

适用于具有恒定介电常数、磁导率和电导率的自由散射体。材料数量不受限制。

2D FDTD 研究文档：包含TF/SF接口与UPML边界

引言

本文档旨在详细介绍一个基于有限差分时域（Finite-Difference Time-Domain, FDTD）方法的二维模拟系统，该系统集成了总场/散射场（Total Field/Scattered Field, TF/SF）接口和单轴完美匹配层（Uniaxial Perfectly Matched Layer, UPML）作为吸收边界条件。此方法特别适用于模拟平面电磁波与任意形状散射体的相互作用，同时支持TE（横电）和TM（横磁）模式的计算。

1. 2D FDTD 算法基础

1.1 FDTD 基本方程

在二维空间中，我们主要关注电场和磁场的两个分量。对于TE模式，主要处理的是Ez​和Hx​,Hy​；对于TM模式，则是Hz​和Ex​,Ey​。FDTD方法通过离散化麦克斯韦方程组，在时间和空间上迭代求解这些场分量。

• TE模式:

  frac∂Ez​∂t=ϵ1​(∂x∂Hy​​−∂y∂Hx​​−σEz​)

  frac∂Hx​∂t=−μ1​∂y∂Ez​​

  frac∂Hy​∂t=μ1​∂x∂Ez​​

• TM模式:

  frac∂Hz​∂t=μ1​(∂y∂Ex​​−∂x∂Ey​​)

  frac∂Ex​∂t=ϵ1​(∂y∂Hz​​−σEx​)

  frac∂Ey​∂t=−ϵ1​(∂x∂Hz​​−σEy​)

其中，ϵ 是介电常数，μ 是磁导率，σ 是电导率。

1.2 离散化与迭代

将空间和时间离散化，通常使用Yee元胞结构来安排电场和磁场分量，以保证麦克斯韦方程组的因果性和稳定性。时间步长和空间步长需要满足Courant稳定性条件。

2. 单轴PML吸收边界条件

UPML是一种改进的PML，通过引入复坐标拉伸因子来吸收向外传播的电磁波，减少反射。在UPML区域，麦克斯韦方程组中的介电常数和磁导率被替换为复数形式，以模拟电磁波在边界上的逐渐衰减。

3. TF/SF 接口

TF/SF技术用于分离总场和散射场，以便仅对散射体附近的散射场进行精确计算，而无需对整个计算区域进行高分辨率网格划分。

• 总场区：直接计算入射波和散射波的总和。
• 散射场区：通过添加适当的入射波修正项，仅计算散射波。

在TF/SF边界处，使用特定的连接条件来确保场分量的连续性。

4. 实现步骤

1. 初始化：设置网格大小、时间步长、材料参数等。
2. TF/SF 接口设置：定义总场和散射场的区域，并在TF/SF边界上实施连接条件。
3. UPML 边界设置：在计算区域的外围设置UPML层，并初始化其参数。
4. 迭代计算：
   • 在每个时间步，首先更新TF区域的场。
   • 在TF/SF边界处应用连接条件。
   • 更新SF区域的场，考虑入射波贡献。
   • 更新UPML区域的场，以吸收向外传播的波。
5. 数据收集与后处理：收集并分析散射体的散射特性，如散射截面、远场辐射图等。

5. 结论

本文档描述了一个集成了TF/SF接口和UPML吸收边界的2D FDTD系统，该系统能够有效模拟平面电磁波与任意形状散射体的相互作用。通过支持TE和TM模式，该系统在电磁散射和辐射问题的研究中具有广泛的应用前景。

📚2 运行结果

部分代码：

%% Initialize workspace
clear all; close all; clc; format short;

%% Fundamental physical constants
% Absolute vacuum permittivity
epsilon_0 = 8.854*1e-12;
% Absulute vacuum permeability
mu_0 = 4*pi*1e-7;
% Light speed in vacuum
c = 1/sqrt(epsilon_0*mu_0);

%% Main parameters
% Calculation area length per x and y axes
L = [2.5, 2.5];
% Uniform grid points for x and y axes
nx = 500; ny = 500;
% Perfect match layer (PML) thickness in uniform grid cells
PML = 10;
% End time [s]
t_end = 15e-9;
% Excitation source amplitude and frequency [Hz]
E0 = 1.0;
f = 2.0e+9; % 2 GHz
% Number of materials (include vacuum backrgound)
number_of_materials = 2;
% Background relative permittivity, relative permeability and absolute
% conductivity
eps_back = 1.0; mu_back = 1.0; sig_back = 0.0;
% Width of alinea between total field area and calculation area border
% (scattered field interface width) [m]
len_tf = 0.5;

% Grid calculation
X = linspace(0,L(1),nx)-L(1)/2;
Y = linspace(0,L(2),ny)-L(2)/2;
dx = X(nx)-X(nx-1);
dy = Y(ny)-Y(ny-1);
% Time step from CFL condition
dt = ( 1/c/sqrt( 1/(dx^2) + 1/(dy^2) ) )*0.99;
number_of_iterations = round(t_end/dt);

%% Geometry matrix
Index = zeros(nx,ny);
IndexX = zeros(nx,ny);
IndexY = zeros(nx,ny);

%% Materials matrix
Material = zeros(number_of_materials,3);

🎉3参考文献

文章中一些内容引自网络，会注明出处或引用为参考文献，难免有未尽之处，如有不妥，请随时联系删除。

[1]胡晓娟.复杂目标电磁散射的FDTD及FDFD算法研究[D].西安电子科技大学,2007.DOI:10.7666/d.y1247044.

[2]姜彦南.FDTD并行算法及层状半空间散射问题研究[D].西安电子科技大学[2024-09-12].DOI:10.7666/d.y1486426.

[3]王向华.单步无条件稳定时域有限差分方法及其在复杂电磁结构数值仿真中的应用研究[D].浙江大学[2024-09-12].

🌈4 Matlab代码实现

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