ustcthesis与Overleaf完美结合：云端LaTeX写作新体验
2026/5/11 7:29:51
1. 二叉搜索树的概念
二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树:
1.若它的左子树不为空，则左子树上所有结点的值都小于等于根结点的值
2.若它的右子树不为空，则右子树上所有结点的值都大于等于根结点的值
3.它的左右子树也分别为二叉搜索树
4.⼆叉搜索树中可以支持插入相等的值，也可以不支持插入相等的值，具体看使用场景定义，后续学习map/set/multimap/multiset系列容器底层就是二叉搜索树，其中map/set不支持插入相等
值，multimap/multiset支持插入相等值
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2. 二叉搜索树的性能分析
最优情况下，二叉搜索树为完全二叉树(或者接近完全二叉树)，其高度为： log2N
最差情况下，二叉搜索树退化为单支树(或者类似单支)，其高度为：N
所以综合而言二叉搜索树增删查改时间复杂度为：O(N)
那么这样的效率显然是无法满足我们需求的，我继续讲解⼆叉搜索树的变形，平衡⼆
叉搜索树AVL树和红黑树，才能适用于我们在内存中存储和搜索数据。
另外需要说明的是，二分查找也可以实现O(log2N) 级别的查找效率，但是二分查找有两大
缺陷：
1. 需要存储在支持下标随机访问的结构中，并且有序。
2. 插入和删除数据效率很低，因为存储在下标随机访问的结构中，插入和删除数据⼀般需要挪动数
据。
这里也就体现出了平衡二叉搜索树的价值。
3. 二叉搜索树的插入
插入的具体过程如下：
1. 树为空，则直接新增结点，赋值给root指针
2. 树不空，按二叉搜索树性质，插入值比当前结点大往右走，插入值比当前结点小往左走，找到空位置，插入新结点。
3. 如果支持插入相等的值，插入值跟当前结点相等的值可以往右走，也可以往左走，找到空位置，插入新结点。（要注意的是要保持逻辑⼀致性，插入相等的值不要⼀会往右走，⼀会往左走）
4.二叉搜索树的查找
1. 从根开始比较，查找x，x比根的值大则往右边走查找，x比根值小则往左边走查找。
2. 最多查找高度次，走到到空，还没找到，这个值不存在。
3. 如果不支持插入相等的值，找到x即可返回
4. 如果支持插入相等的值，意味着有多个x存在，⼀般要求查找中序的第⼀个x。如下图，查找3，要找到1的右孩子的那个3返回
5. 二叉搜索树的删除
首先查找元素是否在二叉搜索树中，如果不存在，则返回false。
如果查找元素存在则分以下四种情况分别处理：（假设要删除的结点为N）
1. 要删除结点N左右孩子均为空
2. 要删除的结点N左孩子位空，右孩子结点不为空
3. 要删除的结点N右孩子位空，左孩子结点不为空
4. 要删除的结点N左右孩子结点均不为空
对应以上四种情况的解决方案：
1. 把N结点的父亲对应孩子指针指向空，直接删除N结点（情况1可以当成2或者3处理，效果是⼀样的）
2. 把N结点的父亲对应孩子指针指向N的右孩子，直接删除N结点
3. 把N结点的父亲对应孩子指针指向N的左孩子，直接删除N结点
4. 无法直接删除N结点，因为N的两个孩子无处安放，只能用替换法删除。找N左子树的值最大结点R(最右结点)或者N右子树的值最小结点R(最左结点)替代N，因为这两个结点中任意⼀个，放到N的位置，都满足⼆叉搜索树的规则。替代N的意思就是N和R的两个结点的值交换，转而变成删除R结点，R结点符合情况2或情况3，可以直接删除。
6. 二叉搜索树的代码实现
7. 二叉搜索树key和key/value使用场景
7.1 key搜索场景：
只有key作为关键码，结构中只需要存储key即可，关键码即为需要搜索到的值，搜索场景只需要判断key在不在。key的搜索场景实现的二叉树搜索树支持增删查，但是不支持修改，修改key破坏搜索树结构了。
场景1：小区无人值守车库，小区车库买了车位的业主车才能进小区，那么物业会把买了车位的业主的车牌号录入后台系统，车辆进入时扫描车牌在不在系统中，在则抬杆，不在则提示非本小区车辆，无法进入。
场景2：检查⼀篇英文章单词拼写是否正确，将词库中所有单词放入二叉搜索树，读取文章中的单
词，查找是否在二叉搜索树中，不在则波浪线标红提示。![]()
7.2 key/value搜索场景：
每一个关键码key，都有与之对应的值value，value可以任意类型对象。树的结构中(结点)除了需要存储key还要存储对应的value，增/删/查还是以key为关键字走二叉搜索树的规则进行比较，可以快速查找到key对应的value。key/value的搜索场景实现的⼆叉树搜索树支持修改，但是不支持修改key，修改key破坏搜索树性质了，可以修改value。
场景1：简单中英互译字典，树的结构中(结点)存储key(英⽂)和vlaue(中⽂)，搜索时输入英文，则同时查找到了英文对应的中文。
场景2：商场无人值守车库，入口进场时扫描车牌，记录车牌和入场时间，出口离场时，扫描车牌，查找入场时间，用当前时间-入场时间计算出停车时长，计算出停车费用，缴费后抬杆，车辆离场。
场景3：统计一篇文章中单词出现的次数，读取一个单词，查找单词是否存在，不存在这个说明第一次出现，（单词，1），单词存在，则++单词对应的次数。![]()